- •1. Последовательности. Определение,
- •2.Предел последовательности. Сходимость.
- •3.Свойства сходящихся последовательностей.
- •4. Бесконечно малые функции и их свойства.
- •5. Определение функции. Способы задания функции.
- •6.Классификация основных элементарных функций.
- •7. Предел функции. Теоремы о пределах.
- •8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
- •9.Непрерывность функции в точке и в интервале. Свойства непрерывных функций.
- •10. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов. Замечательные пределы. (на примере)
- •11. Разрывы функций. Классификация разрывов.
- •12. Производная функции. Геометрический смысл производной.
- •13. Теоремы о производной суммы, произведения и частного.
- •14. Производная сложной и обратной функции (таблица). Понятие о логарифмической производной(порядок логарифмического дифференцирования. Показать на примере)
- •15. Дифференциал, связь дифференциала и приращения функции.
- •21. Экстремум функции, точки перегиба, асимптоты.
- •22. Правила исследования функций.
- •28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •29. Интегрирование рациональных функций.
5. Определение функции. Способы задания функции.
Определение. Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят, что на множестве задана функция .
Основные свойства функции:
Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если .
-
Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
-
Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого .
-
Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .
Способы задания функций:
1. Аналитический способ
2. Табличный способ
3. Графический способ
6.Классификация основных элементарных функций.
Основные элементарные функции:
-
Степенная функция: , , .
-
Показательная функция: .
-
Логарифмическая функция: .
-
Тригонометрические функции , , , .
-
Обратные тригонометрические функции: , , , .
Классификация функций:
-
Алгебраические (целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, иррациональная функция).
-
Неалгебраические (трансцендентные).
7. Предел функции. Теоремы о пределах.
Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех таких, что , верно неравенство: .
Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .
Теоремы о пределах:
Функция не может иметь более одного предела.
Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. .
-
Предел произведений конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. .
-
Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. .
-
Если , , то предел сложной функции .
-
Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .
8. Односторонние пределы. Несобственные пределы.
Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны меньших значений, то число называют левосторонним пределом функции в точке и пишут .Если значение функции стремится к числу по мере стремления к со стороны больших значений, то число называют правосторонним пределом функции в точке и пишут .