- •Раздел 3 элементы аналитической геометрии
- •Глава 5. Координаты точки. Прямая линия
- •5.1. Метод координат. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •5.2. Уравнение линии
- •5.3. Уравнение прямой линии. Исследование уравнения первой степени
- •5.4. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
- •5.5. Различные виды уравнения прямой
- •5.5. Расстояние от точки до прямой
- •Глава 5
- •Глава 6. Кривые второго порядка
- •6.1. Преобразования системы координат
- •6.2. Общий вид уравнения кривой второго порядка. Упрощение уравнения с помощью преобразования системы координат
- •6.3. Иcследование уравнения линии второго порядка
- •Глава 6
Глава 5
5.11. а) 10; б) . 5.12. 137. 5.13. 39. 5.15. С(1;6). 5.16. А(-3;1). 5.17. (-1;8), (1;9), (3;10). 5.18. (1;4) и (13;16)
5.19. 5.20 , D и E лежат.
5.21. 5.22. 5.23. .
5.24. 5.25. , . 5.26. .
5.27. . 5.28. .
5.30. 1) , 2) . 5.31. 5.32. 5.33. 1), 2) , 3) , 4) . 5.34. Точки A и C лежат на прямой, точка B не лежит. 5.35. 1) , 2) , 3), 4) . 5.36. А(1;2). 5.37. 1) , 2) , 3) . 5.38. 1) , 2) , 3) , 4) . 5.39.. 5.40. . 5.41. 1) , 2) , 3) . 5.42. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5.43., , . 5.44. 1) , 2) . 5.45. 1) , 2) .5.46. 2,8; 0; 1,4. 5.47. 3. 5.48. . 5.49., , . 5.50. (3;-1), (3;3), ;, , . 5.51. .
Глава 6. Кривые второго порядка
6.1. Преобразования системы координат
В системе координат положение каждой точки полностью определяется заданием ее координат. Если выбрать другую систему координат, то координаты точек в ней изменятся. При смене системы координат меняются и уравнения линий. В связи с этим встает задача: выбрать систему координат так, чтобы рассматриваемая линия имела в ней самое простое уравнение. Для этого необходимо знать формулы преобразования координат при переходе от одной системы к другой.
Пусть – исходная система координат, – нoвая система координат (рис.6.1).
Проведем через точку прямые, параллельные осям Ох и Оу, получим систему координат . Система получается из х′О′у′ при повороте осей и на угол . Таким образом, переход от данной системы координат к новой системе совершается с помощью двух движений: параллельного переноса и поворота.
-
Пусть – данная система координат; – система, которая получается из при параллельном переносе (рис.6.2). Положение новой системы определяется координатами точки – центра новой системы. Точка в системе имеет координаты . Следовательно, , .
Рассмотрим произвольную точку М. В системе точка М имеет координаты . Следовательно, = х, = y. В новой системе точка М имеет координаты , т.е. . Очевидно, , .
Учитывая, что , , получаем
, ,
или
|
(6.1) |
которые называются формулами параллельного переноса системы координат.
Пример 6.1. Рассмотрим уравнение параболы . Выражение дополним до полного квадрата:
,
откуда
,
или
.
Введем новые координаты , . В системе координат данное уравнение имеет простой вид .
-
Дана система координат и новая система , полученная из поворотом на угол (рис. 6.4). Пусть М – произвольная точка плоскости с координатами в системе , т.е. . Пусть – координаты точки М в новой системе координат, следовательно, , . Из точки опустим перпендикуляр на ось , тогда
.
Из треугольника получаем
.
Проведем отрезок параллельно оси . Из треугольника получаем , т.к. . Поскольку , . Подставляя найденные выражения в равенство (5.13), получаем формулу для координаты х. Аналогично выводится формула для координаты y.
(6.2) |
Равенства (6.2) являются формулами для поворота системы координат на угол .
Пример 6.2. В системе хОу кривая задана уравнением . Повернем систему координат на . Для этого воспользуемся формулами (6.2)
, ,
или
Следовательно,
Данное уравнение в новой системе координат имеет вид –2XY = 1, или . Это уравнение гиперболы, изображенной на рис.6.5.