![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Тема 3:
Cлучайная
величина Х
распределена по нормальному закону с
математическим ожиданием а
и средним квадратическим отклонением
.
Найти: а) вероятность
попадания случайной величины в интервал
(х1;
х2);
б)
величину интервала ,
в который с заданной вероятностью Р
попадает значение случайной величины
Х:
.
Решение (1):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(3; 9) равна
= Ф(2) – Ф(–1).
Учитывая
что функция Ф(х)
является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х)
по таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(2) = 0,47725 и
Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда
=
0,47725 + 0,34134 = 0,81859.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 1,29,
следовательно
= 1,29
= 1,292
= 2,58.
Решение (2):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(0; 7) равна
= Ф(1,33) – Ф(–1).
Учитывая
что функция Ф(х)
является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х)
по таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(1,33) = 0,40824 и
Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда
=
0,40824 + 0,34134 = 0,74958.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 1,65,
следовательно
= 1,65
= 1,653
= 4,95.
Решение (3):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(–2; 2) равна
= Ф(1) – Ф(–3).
Учитывая
что функция Ф(х)
является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х)
по таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(1) = 0,34134 и
Ф(–3) = – Ф(3) = –0,49865, тогда
=
0,34134 + 0,49865= 0,84.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 1,96,
следовательно
= 1,96
= 1,961
= 1,96.
Решение (4):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(–3; 0) равна
= Ф(1) – Ф(0,25).
По
таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(1) = 0,34134
и
Ф(0,25) = 0,09871, тогда
=
0,34134 – 0,09871= 0,24263.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 1,04,
следовательно
= 1,04
= 1,044
= 4,16.
Решение (5):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(–3; 1) равна
= Ф(0,5) – Ф(–3).
Учитывая
что функция Ф(х)
является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х)
по таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(0,5) = 0,19146 и
Ф(–3) = – Ф(3) = –0,49865, тогда
=
0,19146 + 0,49865= 0,69011.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 2,81,
следовательно
= 2,81
= 2,812
= 5,62.
Решение (6):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(6; 17) равна
= Ф(1,2) – Ф(–1).
Учитывая
что функция Ф(х)
является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х)
по таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(1,2) = 0,38493 и
Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда
=
0,38493 + 0,34134 = 0,72627.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 0,84,
следовательно
= 0,84
= 0,845
= 4,2
Решение (7):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(10; 12) равна
= Ф(–2) – Ф(–6).
Учитывая
что функция Ф(х)
является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х)
по таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(–2) = –0,47725 и
Ф(–6) = – Ф(6) = –0,5, тогда
=
–0,47725 + 0,5= 0,02275.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 1,29,
следовательно
= 1,29
= 1,290,5
= 0,645.
Решение (8):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (11; 15) равна
= Ф(1,67)
– Ф(0,33).
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим:
Ф(1,67) = 0,45254
и Ф(0,33) = 0,1293, тогда
=
0,45254 – 0,1293= 0,32324.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 1,04,
следовательно
= 1,04
= 1,043
= 3,12.
Решение (9):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем
случае, вероятность того, что в результате
испытания Х
примет значение, заключенное в интервале
(7; 10) равна
= Ф(2) – Ф(–1).
Учитывая
что функция Ф(х)
является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х)
по таблице значений интегральной функции
Лапласа находим: Ф(2) = 0,47725 и
Ф(–1) = – Ф(1) = –0,34134, тогда
=
0,47725 + 0,34134 = 0,81859.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 2,58,
следовательно
= 2,58
= 2,581
= 2,58.
Решение (10):
а)
Вероятность того, что значение случайной
величины Х
попадет в интервал (α, β) находится по
формуле ,
где Ф(х) – интегральная функция Лапласа.
В нашем случае, вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (–6; –3) равна
= Ф(0,67)
– Ф(–1,33).
Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим: Ф(0,67) = 0,24857 и
Ф(–1,33) = – Ф(1,33) = –0,40824,
тогда
=
0,24857 + 0,40824 = 0,65681.
б) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины X от ее математического ожидания меньше некоторого малого положительного числа δ равна
,
где Ф(х)
– интегральная функция Лапласа.
По
условию задачи
По таблице значений интегральной функции Лапласа находим, что
= 1,96,
следовательно
= 1,96
= 1,961,5
= 2,94.