Задание д4
Для условия задания К1 (положение точки М на стержне АВ задано величиной АМ = S = S1 = 30 см ), угол поворота кривошипа определяется выражением = ), для момента времени t = t1= c, найти проекции на оси координат 0х и 0у главного вектора действующих на механическую систему внешних сил.
Решение
Воспользуемся теоремой о движении центра масс механической системы, которая в данной задаче состоит из стержня АВ и материальной точки М
,
где М = m1 + m2 – масса механической системы (m1 – масса стержня, m2 – масса материальной точки М), − сумма внешних сил действующих на точки и тела механической системы, − вектор ускорения центра масс механической системы.
Запишем теорему о движении центра масс системы в проекциях на заданные оси координат Ох и Оу
,
,
где и есть искомые величины (нужно определить не какую-нибудь конкретную силу из показанных на рисунке, а величины, характеризующие действие всех внешних сил).
Для их определения надо вычислить проекции на оси координат вектора ускорения центра масс системы, которые находятся как вторые производные от выражений координат хС и уС центра масс по времени.
,
.
Найдем координаты центра масс системы с помощью уравнений
=,
= ,
здесь х1, у1, х2, у2 - координаты соответственно центра масс стержня АВ и материальной точки М.
Проекции вектора ускорения центра масс системы на оси координат можно найти, вычислив вторые производные от полученных уравнений. Подставив в эти зависимости выражение , найдем
() + [],
= () + [].
Для момента времени t = c с учетом значений величин ОА = 40 см = 0,4 м, АВ = 100 см = 1 м, S = 30 см = 0,3 м, получим
() + [] =
0,1364 м/с2,
= () + [] =
0,5284 м/с2.
Зная и , вычислим проекции на оси координат 0х и 0у главного вектора действующих на механическую систему внешних сил
= = (15 + 5)∙ 0,1364 = 2,729 Н,
= = (15 + 5)∙ 0,5284 = 10,569 Н.
Задание д5
Движение системы начинается из начального положения ( = 0) с ничтожно малой начальной скоростью под действием приложенного к стержню АВ постоянного по величине и направлению крутящего момента Мкр, который направлен так, что способствует увеличению угла . Полагая, что во все время движения S = S1 = const, найти зависимость угловой скорости АВ стержня АВ от угла . Применить теорему об изменении кинетической энергии.
Решение
Прежде всего, изобразим начальное положение механической системы
и положение системы в промежуточном положении
Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы
Т2 – Т1= ,
здесь обозначено Т1 и Т2 - кинетические энергии системы соответственно в начальном и конечном положениях, и - суммы работ внешних и внутренних сил на рассматриваемом перемещении механической системы.
Кинетическая энергия системы в начальном положении равна нулю, так как в этом положении система находилась в покое (Т1= 0). Кинетическая энергия механической системы в конечном (произвольном, определяемом углом φ) положении определяется суммой кинетических энергий стержня АВ и материальной точки М, кинетическая энергия кривошипа не учитывается (равна нулю), так как массой кривошипа по условию задания следует пренебречь.
Т2 = ТАВ + ТМ.
Стержень совершает плоскопараллельное движение, формула для вычисления кинетической энергии имеет вид
ТАВ = +,
где – скорость центра масс стержня, – момент инерции стержня относительно оси проходящей через его центр масс. Так как нужно получить буквенное выражение зависимости скорости от и , то сначала, как в задании К1, составим уравнения движения точки С1, а затем найдем ее скорость.
= – ОА + АС1 = – R + (АВ/2),
= – ОА + АС1 = – R + (АВ/2).
Для вычисления квадрата скорости точки С1 при координатном способе задания движения используют формулу
,
где - , проекции вектора скорости на оси координат.
= ,
=.
Тогда
( )2 + ()2 = − = .
Выражение угловой скорости стержня получено ранее (в задании К2) .
Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси проходящей через центр масс С1 стержня находится по формуле
, где = АВ.
Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии стержня, получаем
ТАВ = +.
Формула кинетической энергии для материальной точки М имеет вид .
Выражение квадрата скорости точки М () получим, используя найденные в задании К1 проекции скорости точки на оси координат
= ,
.
Тогда
= ()2 + ()2 = − = .
Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии точки, получаем
ТМ = .
Выражение кинетической энергии всей системы в конечном положении имеет вид
Т2 = +.
Вычислим сумму работ внешних сил действующих на механическую систему. Для этого на рисунке покажем внешние воздействия, к числу которых относятся силы тяжести , реакции внешних связей и крутящий момент Мкр.
.
Найдем работу каждой из сил в отдельности. Работы сил тяжести на заданном перемещении положительны
= (R − (АВ/2)),
= (R − S1).
Работы сил реакций связей в точках О и D равны нулю
, так как все эти силы приложены в неподвижных точках (перемещения точек приложения сил равны нулю).
Работа крутящего момента Мкр положительна и вычисляется по формуле .
Выражение суммы работ внешних сил имеет вид
= (R − (АВ/2)) + (R - S1) + = () − + .
Определим сумму работ внутренних сил механической системы.
= 0 (трением мы пренебрегаем, систему образуют абсолютно твердые тела).
После подстановки найденных выражений в формулу теоремы об изменении кинетической энергии, получим
+ = () − +
или, вынося за скобки, имеем
= () − + ,
откуда
.
Это и есть искомая зависимость .