- •1. Подвижный репер поверхности.
- •1.1.Метод подвижного репера
- •2. Теория кривой.
- •2.2. Регулярная кривая.
- •2.2. Длина дуги. Естественный параметр кривои.
- •2.3. Касательная прямая и нормальная плоскость кривой.
- •2.4. Касательное отображение и касательное расслоение.
- •2.5. Соприкасающаяся плоскость.
- •2.6. Сопровождающий репер кривой.
- •2.7. Кривизна кривой.
- •2.8. Кркучение кривой.
- •2.9. Формулы френе.
- •2.10. Уплощение кривой.
- •2.11. Вычислительные формулы для кривизны и кручения кривой.
- •II.12. Прямая, окружность, винтовая линия.
- •2.13. Задание кривой функциями кривизны и кручения.
- •2.14. Линии постоянных кривизн.
- •2.15. Строение кривой вблизи обыкновенной точки.
- •3. Теория поверхности.
- •3.1. Регулярная поверхность.
- •3.2. Линии на поверхности.
- •3.3. Касательная плоскость и нормаль поверхности.
- •3.4. Первая основная квадратичная форма поверхности.
- •3.5. Метрика на поверхности.
- •3.6. Кривизна линий на поверхности.
- •3.7. Индикатриса кривизны.
- •3.8. Классфикация обыкновенных точек поверхности.
- •3.9. Главные кривизны на поверхности.
- •3.10. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.
- •4.Кривая.
- •4.5.Вычислим кручение кривой :
- •4. 6. Изображение кривой.
- •5. Поверхность.
- •5.1. Найдем уравнение касательной плоскости, используя формулу:
- •5.2. Найдем уравнение нормали для искомой поверхности.
- •5.4.Вычисление второй квадратичной формы.
- •5.5.Вычисление полной кривизны поверхности
- •5.6. Вычисление средней кривизны поверхности.
- •5.7. Изображение поверхности.
3.10. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.
Рассматриваем регулярную поверхность в окрестности точки . Дифференциалы , из (3.7.1) подставим в выражение (3.6.4) для нормальной кривизны поверхности. После сокращение на приходим к равенству
.
Отсюда получаем
.
Дифференцируем это равенство по и по :
Главные направления в касательной плоскости определяются этой системой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае .
.
Значение определителя
.
Главные кривизны , есть корни выписанного уравнения. Воспользуемся теоремой Виетта:
, .
Полная и средняя кривизны поверхности найдены без вычисления главных кривизн.
Практическая часть.
4.Кривая.
Кривая задана следующим образом:
Найдем производные первого, второго и третьего порядков.
4.1.Найдем уравнение касательной по формуле:
Возьмем =0;
Найдем производную
При подставлении в получим точку Р =(0,0,0);
При подставлении в получим точку =(3,0,3);
Составим уравнение касательной для кривой :
4.2.Найдем уравнение нормальной плоскости для кривой по формуле:
Подставляя уже найденные ранее данные, получаем:
4.3.Найдем уравнение соприкасающейся плоскости по формуле:
Раскроем определитель по первой строке
-+=0;
Примем
Подставим значения в уравнение соприкасающейся плоскости:
Уравнение соприкасающейся плоскости имеет вид:
8x+6y-3z-1=0.
4.4.Сосчитаем кривизну кривой по следующей формуле:
Подставляя ранее полученные значения производных первого и второго порядков в основную формулу нахождения кривизны кривой в координатах, получим нужную нам кривизну. Из-за сложности в подсчетах разделим вычисление на несколько этапов:
-
Вычисление числителя без извлечения корня
Приведем подобные слагаемые и извлечем корень из получившегося выражения:
2)Вычисление знаменателя без извлечения корня.
Извлечем корень
Подставим все в итоговую формулу
4.5.Вычислим кручение кривой :
Примем t=0;
Получим .
4. 6. Изображение кривой.
5. Поверхность.
Поверхность задана следующим образом:
Вычислим производные:
5.1. Найдем уравнение касательной плоскости, используя формулу:
.
Подставляя в нее значения производных, получим:
.
Раскроем определители и получим общее уравнение искомой поверхности:
Найдем уравнение касательной плоскости в конкретной точке:
Выберем произвольную точку Р(1,2,1).
Зададим u=1,v=;
Примем a=2,k=;
Подставляя в формулу, получим:
5.2. Найдем уравнение нормали для искомой поверхности.
Раскроем определители:
Подставляя уже найденные ранее производные и приводя подобные слагаемые, получим:
Найдем уравнение нормали в конкретной точке:
Выберем произвольную точку Р (1,1,2).
Зададим a=2 ,k=, u=1,v= ;
Подставим заданные значения в уравнение:
5.3.Вычисление первой квадратичной формы.
Найдем частные производные:
Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:
Детерминант первой квадратичной формы:
.
Корень из детерминанта первой квадратичной формы:
.
Первая квадратичная форма имеет вид:
Подставим получившиеся значения в эту формулу и получим