![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •2. Функции алгебры логики
- •2.1. Элементарные функции алгебры логики
- •Теорема о замене подформул на эквивалентные
- •Некоторые свойства элементарных функций
- •2.3 Принцип двойственности
- •Пример 1. Покажем с помощью таблицы истинности, что константа 0 двойственна к 1:
- •Пример 3. Покажем, что функция х1х2 двойственна к x1&x2, функция х1х2 двойственна к функции x1|x2.
- •Лемма о несамодвойственной функции
- •Теорема о разложении функции по переменным
- •2.5. Полнота, примеры полных систем
- •Полные системы
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина
- •Теорема Жегалкина
- •2.6. Замыкание и замкнутые классы
- •Важнейшие замкнутые классы в р2
- •Теорема Поста о полноте
- •Теорема о достаточности четырех функций.
- •2.7. Функции k - значной логики
- •Теорема о полной в Рk системе функций
- •4. Логика высказываний
- •4.1. Введение в логику высказываний
2.5. Полнота, примеры полных систем
Определение. Система функций {f1, f2, ..., fs, ...}P2 называется полной в Р2, если любая функция f(x1, ..., xn) P2 может быть записана в виде формулы через функции этой системы.
Полные системы
1. P2 – полная система.
2.
Система M={x1&x2,
x1x2,
}
– полная система, т.к. любая функция
алгебры логики может быть записана в
виде формулы через эти функции.
Пример
1.
Неполные системы: {},
{0,1}.
Лемма (достаточное условие полноты)
Пусть
система
U
= {f1,
f2,
..., fs,
...} полна в Р2.
Пусть B
= {g1,
g2,
..., gk,
...} – некоторая система из Р2,
причем любая функция fi
U
может быть выражена формулой над B,
тогда система B
полна в Р2.
Доказательство.
Пусть h(x1,
..., xn)
P2,
т.к. U
полна в Р2,
то h(x1,
..., xn)
= =N[f1,
..., fs,
...] = N[L1[g1,
..., gk],
..., Ls[g1,
...,
gk],
...] = U[g1,
..., gk].
Здесь мы воспользовались тем, что для
любого i
n
fi
может быть выражена формулой над B,
поэтому fi=Li[gi,
..., gk].
3.
Система {x1x2,
}
– полна в P2.
Возьмем
в качестве полной в Р2
системы U={x1x2,
,
x1&x2},
B={x1x2,
}.
Надо показать, что
x1&x2
представляется формулой над B.
Действительно, по правилу Де Моргана
получим: x1&x2=
.
С помощью этой леммы докажем полноту еще ряда систем.
4.
Система {x1&x2,
}
– полна в Р2.
5.
Система {x1|x2}
полна в Р2.
Для доказательства возьмем в качестве
полной в Р2
системы U
= {x1&x2,
}
и выразим х1&х2
и
через х1|x2
:
=
x1
| x1,
x1
& x2
=
=
(x1|x2)|(x1|x2).
6.
Система {x1x2}
полна в Р2.
U
= {x1x2,
},
=
x1
x1,
x1x2
=
= (x1
x2)
(x1
x2).
7.
Система {x1&x2,
x1x2,
0, 1}, U
= {x1&x2,
},
=
x11.
Следствие. Полином Жегалкина.
f(x1,
..., xn)
P2,
представим ее в виде формулы через
конъюнкцию и сумму по модулю два,
используя числа 0 и 1. Это можно сделать,
так как {x1&x2,
x1x2,
0, 1} полна в Р2.
В силу свойства x
& (yz)
= xy
xz
можно раскрыть все скобки, привести
подобные члены, и получится полином от
n
переменных, состоящий из членов вида
хх
...х
,
соединенных знаком .
Такой полином называется полиномом
Жегалкина.
Общий вид полинома Жегалкина:
где
,
s
= 0, 1, ..., n,
причем при s
= 0 получаем свободный член а0.
Представление функции в виде полинома Жегалкина
1.
Представим любую функцию формулой над
{x1&x2,}
и сделаем замену
=x1.
Этот способ удобен, если функция задана
формулой.
Пример
2.
(x1(x2
x3))(x1
x2)
x3
= (x1
x2
x3)(x1
x2)
x3
= (x1x2
x1x3
x1x2
x2
x2x3)x3
=
(x1x3
x2)x3
= x1x3x2
x3
=
((x1x31)x21)x3
= x1x2x3x2x3x3.
Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod2 дает 0.
2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.
Пример 3. Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f(x1, x2, x3) = (01101001) = а0 а1х1 а2х2 а3х3 b1x1x2 b2x2x3 b3x1x3 cx1x2x3. Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f(0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f(0, 0, 0) = а0, отсюда а0 = 0. f(0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f(0, 0, 1) = а0 а3, т.к. а0 = 0, отсюда а3 = 1. Аналогично, f(0, 1, 0) = 1 = а2, f(0, 1, 1) = 0 = а2 а3 b2 = b2 = 0; а1 = 1; 0 = а1 а3 b3 = b3 = 0; 0 = а1 а2 b1 = b1 = 0; 1 = 1 1 1 c; c = 0; f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3.