- •Раздел 2. Элементы векторной алгебры
- •1. Определение вектора
- •2. Направление вектора. Коллинеарность векторов
- •Свойства коллинеарных векторов:
- •3. Абсолютная величина вектора
- •4. Равенство векторов
- •5. Линейные операции над векторами
- •5.1. Сложение векторов
- •Свойства сложения:
- •5.2. Вычитание векторов
- •5.3. Умножение вектора на действительное число
- •Свойства произведения вектора на число
- •6. Векторное пространство
- •7. Линейная зависимость векторов
- •Свойства линейно зависимых векторов:
- •8. Базис системы векторов и пространства
- •Свойства базиса системы векторов:
- •9. Координаты вектора в базисе
- •Свойства координат векторов:
- •Практикум 13. Векторы. Основные понятия. Линейные операции
- •2) Выполнить оставшиеся номера
5.2. Вычитание векторов
Разность векторов существует и определена однозначно. Вычитание вводится как операция, обратная сложению.
Определение 12.
Разностью векторов и , отложенных от общего начала, называется вектор , начало которого совпадает с концом вычитаемого вектора, а конец – с концом уменьшаемого вектора.
, если .
. (7.2)
Для любых двух векторов и : –=+(–).
Определение 12*.
Разностью двух векторов и , называют третий вектор, равный сумме уменьшаемого вектора и вектора (–), противоположного вычитаемому.
Это определение указывает правило построения разности векторов.
5.3. Умножение вектора на действительное число
Произведение вектора на число существует и определено однозначно.
Определение 13.
Произведением ненулевого вектора на действительное число 0 называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям (7.3):
-
Условие 1
где – модуль числа
Условие 2
, если ,
, если < 0.
Обозначение: =
Пример 3.
Свойства произведения вектора на число
Из определения следует:
1) || ,
2) если =, то ==;
3) если =0, то =0=.
Для произвольных чисел , и векторов и справедливы следующие равенства:
4) 1=; 6)
5) 7)
Для доказательства достаточно рассмотреть выполнение условий определения.
Для примера докажем свойства 4-5.
4) 1=
-
Условия определения
1. Длина
2. Направление
, так как 10.
Вывод
1=.
5)
-
Условия
определения
Слева
Справа
Вывод
1. Длина
2. Направление
2.1) Если и ,
то и ,
т.е. .
то и ,
т.е. .
2.2) Если и ,
то и ,
т.е. .
то и ,
т.е. .
2.3) Если и ,
2.4) Если и ,
Вывод
Так как 1) ; 2) , то =, т.е. .
п. 2.3 и п.2.4 заполните самостоятельно. Докажите остальные свойства.
6. Векторное пространство
Мы выяснили, что на множестве векторов (обозначим его V3) трехмерного пространства выполняются свойств линейных операций, а именно: , R
1. 5.
2. 6.
3. / 7.
4. – / 8. (7.4)
Говорят, что множество векторов V3 образует векторное пространство над полем R, в котором определено сложение векторов, умножение вектора на действительное число, удовлетворяющее свойствам 1–8, называемым системой аксиом векторного пространства.
Векторное пространство называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:
1) существует n линейно независимых векторов;
2) любая система n+1 векторов линейно зависима.
Обозначается: n=dim V или Vn.
Подмножество L векторного пространства V3 образует векторное подпространство, если оно само образует векторное пространство и удовлетворяет условиям:
1) , 2) . (7.5)