3.2.1 Прямые показатели качества

К ним относятся: степень затухания , перерегулирование , статическая ошибка е_ст, время регулирования t_p и др.

Рисунок 1.47

Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет колебательный вид (см. рисунок 1.47).

По ней определяется установившееся значение выходной величины

.

Степень затухания  определяется по формуле

,

где А₁ и А₃ - соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.

Перерегулирование  = , где y_max - максимум переходной кривой.

Статическая ошибка е_ст = х - у_уст, где х - входная величина.

Время достижения первого максимума t_м определяется по графику.

Время регулирования t_p определяется следующим образом: определяется допустимое отклонение  и строится «трубка» толщиной 2. Время t_p соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То есть время, когда колебания регулируемой величины перестают превышать допустимого отклонения от установившегося значения.

Обычно допустимое отклонение принимается равным 5 % от установившегося значения:  = 5% у_уст. Однако оно может быть и другим. Например, если у_уст = 0, то допустимое отклонение принимается равным 5 % от амплитуды А₁.

Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения первого максимума, перерегулирования и статической ошибки соответствуют минимальным значениям (чем меньше, тем лучше). Степень затухания, наоборот, должна быть максимально большой (максимум  равен 1).

3.2.2 Корневые показатели качества

К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости  и др. Корневые показатели не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним определяются:

Степень устойчивости  определяется как граница, правее которой корней нет, т.е.

 = min,

где Re(s_i) - действительная часть корня s_i. Пример определения степени устойчивости показан на рисунке 1.48. Линии построения показаны пунктиром. Степень устойчивости на рисунке определяется по самым правым корням (корни s₃ и s₄).

Степень колебательности m рассчитывается через угол : m = tg . Для определения  проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости.  - угол между этими лучами и мнимой осью. Степень колебательности может быть определена также по формуле

m = min .

Если в системе нет комплексных корней, т.е. все корни лежат на действительной оси, то колебательность в системе отсутствует и m = 90°. При наличии чисто мнимых корней система находится на границе устойчивости, для нее m = 0.

На рисунке 1.48 степень колебательности определена по корням s₁ и s₂.

Степень устойчивости и степень колебательности для «хорошей» системы должны быть максимально большими. Значения m = 0 и  = 0 соответствуют границе устойчивости.

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

.

Для определения корней характеристического полинома приравниваем его к нулю и решаем полученное уравнение. Корни:

s₁ = - 0,27; s₂ = - 0,15 + j*1,02; s₃ = - 0,15 - j*1,02.

Степень колебательности определяется как минимум:

,

Степень устойчивости:

0,15.