11.Математические модели задач

Экономико-математическая модель задачи производственного планирования

Постановка задачи

Пусть имеется некоторый экономический объект (предприятие, цех…), который может производить некоторую продукцию n видов. В процессе производства допустимо использовать m видов ресурсов (сырья). Применяемые технологии характеризуются нормами затрат единиц сырья на единицу производственного продукта.

Обозначения:

а_ij – количество i - го ресурса на производство j - го продукта, (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).

А_j = (а_{1 j}, а_{2 j}, ..., а_{m j}) ^Т – набор технологических затрат в производстве j - го продукта.

А – матрица технологии предприятия с размерностью m x n:

А =

х _j – количество производимого j -го продукта.

Х = (х_1, х₂, ...., х _n) ^Т – сводный план производства.

а_i1х₁ + а_i2х₂ + ...+ а_inх_n – затраты по i - му ресурсу на производство всех продуктов.

b_i – максимальное количество i - го ресурса.

В = (b₁,...b_i ,...b_m) ^Т – вектор ограничений.

Ограничения по i – м ресурсам:

а_i1х₁ + ...+ а_inх_n ≤ b_{i ,}(1 ≤ i ≤ m).

К системе неравенств добавим ограничения на неотрицательность компонент плана производства: х _j ³ 0, (1 ≤ j ≤ n).

Пусть с _j – цена единицы j - го продута. Тогда с₁х₁ + с₂х₂ +… + с _nх_n – суммарный доход предприятия от выполнения плана производства.

Целевая функция задачи планирования производства:

Z = с₁х₁ + с₂х₂ +… + с _nх_n® max.

Математическая модель задачи в матричной форме:

Z = СХ ® max,

АХ ≤ В, Х ³ 0.

Где Х = (х_1, х₂, ...., х _n) ^Т , С = (с₁,..,с _j ,.., с_n), В = (b₁,...b_i ,...b_m) ^Т,

А =

Предложенная математическая модель задачи имеет ряд упрощений. Например, предположение о прямо пропорциональной (линейной) зависимости между объемами ресурсов и объемами производства. В реальной ситуации объемы расхода многих ресурсов изменяются скачкообразно в зависимости от компонентов объема производства. К следующим упрощающим предпосылкам относятся предположения о независимости цен с _j от объемов х _j, что справедливо лишь для определенных пределов их изменения. Указанные факторы позволяют выбрать возможное направление совершенствования модели.

Классическая задача потребления

Постановка задачи

Предположим, N – количество товаров и услуг х_1, х₂, ...., х _n по ценам соответственно р_1, р₂, ...., р _n.

р₁х₁ + р₂х₂ + ...+ р_nх_n – суммарная стоимость товаров и услуг;

Z = f(X) ® max – уровень потребления (функция полезности).

Необходимо найти набор товаров и услуг при данной величине доходов I, обеспечивающий максимальный уровень потребления.

Математическая модель задачи:

Z = f(X) ® max, Х ³ 0, Х = ( х_1, х₂, ...., х _n )

р₁х₁ + р₂х₂ + ... + р_nх_n ≤ I.

12.Графический метод решения стандартной задачи линейного программирования

Постановка задачи.

Рассмотрим стандартную задачу линейного программирования с двумя переменными:

Z = с₁х₁ + с₂х₂ ® max(min)

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ ≤ b_1,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ ≤ b_2,

_……

а_m1х₁ + а_m2х₂ ≤ b_m,

х _j ³ 0, (1 ≤ j ≤ 2).

Графический метод решения заключается в построении области решений, заданной системой ограничений и нахождении в полученной области оптимальных значений функции.

Известно, что решением отдельно взятого линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость, граница которой задается уравнением вида: а_i1х₁ + а_inх_n = b_i (1 ≤ i ≤ m ).

Система неравенств совместна, если все полуплоскости имеют общую площадь пересечения. Если переменные задачи удовлетворяют условиям неотрицательности, то соответствующая область решений называется областью допустимых решений (первая координатная четверть).

При условии совместности системы неравенств в области решений строится вектор градиент, указывающий направление возрастания целевой функции. Координаты градиента численно равны частным производным первого порядка. Для линейной целевой функции Z = с₁х₁ + с₂х₂ частные производные первого порядка равны коэффициентам при переменных, следовательно grad Z = { с_1, с₂ }.

Кроме вектора градиента выполняется построение линии уровня целевой функции. Для этого значение Z приравнивается к некоторой константе: Z = C = Const. Уравнение линии уровня с₁х₁ + с₂х₂ = C – уравнение прямой. Согласно способу задания данная прямая располагается перпендикулярно вектору градиенту. При «перемещении» линии уровня по направлению градиента (антиградиента) до самой удаленной точки области решений получаем точку максимума (минимума) целевой функции.

Этапы графического решения:

1. Построение области допустимых решений (ОДР). Если область не пуста, переходим к следующему этапу.

2. Нахождение вектора градиента grad Z = { с_1, с₂ }

3. Построение линии уровня целевой функции с₁х₁ + с₂х₂ = C = Const

4. Поиск точек максимума (минимума) и вычисление значений целевой функции.