3. Симметричный режим работы трехфазной цепи

Расчет трехфазной цепи, так же как и расчет всякой сложной цепи, ведется обычно в комплексной форме. Ввиду того что фазные э. д. с. генератора сдвинуты друг относительно друга на 120°, для краткости математиче­ской записи применяется фазовый оператор — комплекс­ная величина

Умножение вектора на оператор а означает поворот вектора на 120° в положительном направлении (против хода часовой стрелки).

Соответственно умножение вектора на множитель а² означает поворот вектора на 240° в положительном нап­равлении или, что то же, поворот его на 120° в отрица­тельном направлении.

Очевидно,

Если э. д. с. фазы А равна Ё_А, то э. д. с. фаз В и С равны соответственно:

В простейшем случае симметричного режима работы трехфазной цепи, когда генератор и нагрузка соединены звездой (рис. 9, а), векторная диаграмма э.д.с. и токов имеет вид, показанный на рис. 9, б.

Ток в каждой фазе отстает от э. д. с. той же фазы на угол = arctg х/r,

где r и х—активное и реактивное сопротивления фаз.

Ток в фазе А находят так же, как в однофазной цепи, потому что нейтральные точки генератора и нагрузки

а) б)

Рис. 9. Симметричный режим работы трехфазной цепи.

а — трехфазная цепь; б — векторная диаграмма.

в симметричном режиме могут быть соединены как име­ющие одинаковые потенциалы:

·

Соответственно токи в фазах В и С выражаются че­рез ток I_А:

, .

Наличие нейтрального провода не вносит при сим­метричном режиме никаких изменений, так как сумма токов трех фаз равна нулю и ток в нем отсутствует:

.

Таким образом, при симметричном режиме работы трехфазной цепи задача сводится к расчету одной из фаз аналогично расчету однофазной цепи. При этом сопро­тивление обратного (нейтрального) провода не учиты­вается, так как ток в нем и соответственно падение на­пряжения на нем отсутствуют.

По мере удаления от генератора фазные напряжения, определяемые падениями напряжения до нейтральной точки нагрузки, изменяются по величине (обычно убыва­ют) и по фазе. Линейные напряжения определяются как разности соответствующих фазных напряжений, напри­мер: . В любом месте трехфазной линии при симметричном режиме соблюдается следующее соот­ношение между модулями линейных и фазных напря­жений:

.

Действительно,

т. е. опережает по фазе U_A на 30°, причем модуль Uав в √3 раз превышает U_A.

В случае соединения треугольником линейные токи определяются в соответствии с первым законом Кирхго­фа как разности фазных токов и при симметричном ре­жиме соблюдается соотношение .

Соединение фаз генератора или нагрузки треугольни­ком должно быть для расчета заменено эквивалентным соединением фаз звездой; вследствие этого расчет трех­фазной цепи с соединением фаз треугольником приво­дится в конечном итоге к расчету эквивалентной трех­фазной цепи с соединением фаз звездой.

Между сопротивлениями сторон треугольника (Z_) и лучей звезды (Z_ ) имеет место соотношение Z_ = 1/3 Z_ , вытекающее из формул преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Это соотношение справедливо как для сопротивлений сим­метричной трехфазной нагрузки, так и для сопротивле­ний симметричного трехфазного генератора. При этом фазные э.д.с. эквивалентного генератора, соединенного звездой, берутся в раз меньшими фазных э. д. с. за­данного генератора, соединенного треугольником (кроме того, они должны быть сдвинуты на угол 30°). Это легко усмотреть из векторной потенциальной диаграммы нап­ряжений генератора.

Активная мощность симметричной трехфазной на­грузки равна:

.

_Ввиду того что при соединении нагрузки звездой и, а_при соединении нагрузи* тре­угольником U_ф=U_л и , активная мощность трехфазной цепи независимо от вида соединения выра­жается через линейные напряжения и ток следующим образом:

здесь φ — угол сдвига фазного тока относительно одно­именного фазного напряжения.

Рис. 12-10. Измерение активной мощности при симметрич­ном режиме.

Аналогичным образом для реактивной и полной мощ­ностей симметричной трехфазной нагрузки имеем:

Q=√3·U_л·I_л·sinφ; S=√3·U_л·I_{л ..}

Приведенные выражения не означают, что при пере­соединении нагрузки со звезды на треугольник (или на­оборот) активная и реактивная мощности не изменяют­ся. При пересоединении нагрузки со звезды на треуголь­ник при заданном линейном напряжении фазные токи возрастут в √3 раз, а линейный ток — в 3 раза и поэто­му мощность возрастет в 3 раза.

Если нейтральная точка симметричной трехфазной нагрузки выведена, то измерение активной мощности мо­жет быть осуществлено одним ваттметром, включенным по схеме рис. 12-10, а (одноименные или так называемые генераторные зажимы последовательной и параллельной цепей ваттметра отмечены на рис. 12-10, а звездочками). Утроенное показание ваттметра равно суммарной актив­ной мощности трех фаз.

Рис. 12-11. Изме­рение реактивной мощности при сим­метричном режи­ме

Если нейтральная точка не выведена или нагрузка соединена треугольником, то можно воспользоваться схемой рис. 12-10,б , где параллельная цепь ваттметра и два добавочных активных сопротивления r_доб, равные по величине сопротивлению параллельной цепи ваттметра, образуют искусствен­ную нейтральную точку 0 *.

Для получения суммарной мощно­сти, как и в предыдущем случае, по­казание ваттметра утраивается.

На рис. 12-11 показан способ изме­рения реактивной мощности в симмет­ричной трехфазной цепи при помощи одного ваттметра: последовательная цепь ваттметра включена в фазу А, а параллельная — между фазами В и С, причем генераторные зажимы ваттмет­ра присоединены к фазам А и В. Показание ваттметра в этом случае равно:

U_BC·I_A·cos(φ-90⁰)=U_BC·I_A·sinφ.

Для получения суммарной реактивной мощности по­казание умножается на √3.

Ч)

о.)

Рис. 12-12. Пример 12-1.

* Следует заметить, что здесь применим только электродинами­ческий или ферродинамический ваттметр, сопротивление параллель­ной цепи которого является чисто активным. Индукционный ватт­метр неприменим по той причине, что сопротивление параллельной цепи такого ваттметра имеет реактивное сопротивление; для созда­ния искусственной нейтральной точки в этом случае потребовались бы реактивные добавочные сопротивления.

Разделив активную мощность на полную мощность, получим:

Cos φ= P/S

Пример 12-1. Определить ток в генераторе при симметричном режиме работы трехфазной цепи, представленной на рис. 12-12, а.

Сопротивления Z₄, соединенные треугольником, заменяются экви­валентной звездой из сопротивлений — 2₄.

О

При симметричном режиме нейтральные точки генератора и на­грузки, как было указано выше, могут быть объединены. Тогда ре­жим работы каждой фазы, например фазы А, может быть рассмот­рен в однофазной расчетной схеме (рис. 12-12, б).

Результирующее сопротивление цепи одной фазы равно:

Искомый ток в фазе А

12-4. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ

Несимметрия в трехфазной цепи может быть вызвана различными причинами; 1) неодинаковым сопротивлени­ем фаз (несимметричная нагрузка); 2) несимметричным коротким замыканием (например, между двумя фазами или фазой и нейтралью); 3) размыканием фазы; 4) не­равенством величин э. д. с. и т. п.

Расчет токов и напряжений в трехфазной цепи при несимметричном режиме может производиться теми же методами, которые применяются для расчета однофаз­ных цепей.

Рассмотрим несколько простейших вариантов (без взаимной индукции между фазами).

1. Несимметричная трехфазная цепь, соединенная звездой, с нейтральным проводом (рис. 12-13).

Несимметричная трехфазная цепь, показанная на рис. 12-13, может рассматриваться как трехконтурная цепь с тремя э. д. с. Такая цепь может быть рассчитана методами контурных токов, узловых напряжений и дру-

гимн. Поскольку в схеме имеются только два узла, наи­более целесообразно в данном случае определить узло­вое напряжение (напряжение смещения) между ней­тральными точками О' и О по формуле, аналогичной (4-4):

(12-1)

где У a, Y_B, Ус и Y_N — про­водимости соответствующих ветвей.

Рис. 12-13. Несимметричная трехфазная цепь, соединен­ная звездой (с нейтральным проводом}.

Рис. 12-14. Несимметричная трехфазная нагрузка, соеди­ненная звездой (без нейтраль­ного провода).

После этого найдем токи:

I_A=Y_a(E_A-U_N);

I_B=Y_B(E_B-U_N);

I_C=Y_C(E_C-U_N);

В симметричной трехфазной цепи Y_A = Y_B = Y_C и

поэтому при E_A+E_B+E_C = 0 узловое напряжение U_N равно нулю.

Случаю размыкания какой-либо фазы или нейтраль­ного провода соответствует равенство нулю проводимо­сти данной фазы или нейтрального провода.

При отсутствии нейтрального провода, полагая в (12-1) Y_N= 0, имеем:

2. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединен­ная звездой (без нейтрального провода), с заданными линейными напряжениями на зажимах (рис. 12-14).

Если заданы линейные напряжения U_AB, 0_BC и оса на зажимах нагрузки, соединенной звездой, то токи в фа­зах звезды определяются следующим образом.

Обозначив фазные напряжения на зажимах нагрузки через U_A, U_B и U_C

(рис. 12-14), получим

I_A = Y_A *U_A

I_B = Y_B *U_B

I_C = Y_C*U_C

где Y_A, Y_B и Y_C— проводимости фаз нагрузки.

Равенство нулю суммы токов трех фаз записывается в виде:

Y_AU_A+-Y_BU_B + Y_CU_C = Q. (12-2)

Фазные напряжения U_в и U_c могут быть выражены через U_A и заданные линейные напряжения:

(12-3)

U_B=U_A-U_AB

U_C=U_CA+U_A

Подстановка (12-3) э (12-2) дает:

и — ^ ^{в Ав} — ^^с ^^СА

^Л~ уа + ув + ус '

Круговой заменой индексов (с порядком следования АВСА и т. д.) находятся:

(12-4)

По фазным напряжениям нагрузки находятся фазные токи.

В случае симметричной нагрузки ¥_л = У_в = У_с век­тор фазного напряжения равен одной трети диагонали параллелограмма, построенного на соответствующих ли­нейных напряжениях. Фазные напряжения в этом случае определяются векторами, соединяющими центр тяжести треугольника напряжений (точка пересечения медиан) с вершинами треугольника,, -

На рис. 12-15 построение сделано для фазы Л по фор­муле (12-4):

U_а = -I (U_АВ - U_СА) =-I (U_ВА + U_СА).

В качестве примера рассмотрим схему фазоуказателя, используемую для определения чередования фаз по времени, состоящую из конденсатора и двух одинаковых электрических ламп, соединенных звездой¹.

Рис. 12-15. Нахож­дение фазных на­пряжений.

Рис. 12-16. Несимметричная трехфазная нагрузка, соеди­ненная треугольником.

Положим, что конденсатор присоединен к фазе Л, лампы — к фазам В и С; емкостное сопротивление кон­денсатора берется равным по величине сопротивлению лампы, т. е. Z_A = —jx_c, Z_B = Z_c = г, причем х_с = г.

Неравенство напряжений на лампах проявится в том, что накал ламп будет разным. Отношение напряжений согласно выведенным выше выражениям (12-4) равно при симметрии линейных напряжений:

Следовательно, лампа, присоединенная к фазе В (т. е. к фазе, опережающей ту, к которой присоединена вторая лампа), будет светить ярко, а лампа, присоеди­ненная к отстающей фазе, — тускло.

¹ Для определения чередования фаз на практике обычно поль­зуются специальным прибором, в котором создается вращающееся магнитное поле (см. § 12-6), увлекающее за собой диск в ту или дру­гую сторону.

Вместо конденсатора можно применить индуктивную катушку, подобрав ее индуктивное сопротивление приб­лизительно равным по величине сопротивлению лампы. В этом случае ярче будет светить лампа, присоединенная к отстающей фазе. Эти соотношения также могут быть получены непосредственно из векторной диаграммы.

3. Несимметричная трехфазная нагрузка, соединен­ная треугольником, с заданными напряжениями на за­жимах (рис. 12-16).

Если на зажимах несимметричной трехфазной нагруз­ки, соединенной треугольником, заданы линейные напря­жения uab, ubc и uca (рис. 12-16), то токи в сопротив­лениях нагрузки равны:

U ав U вс uca

Z_ab Z_BC Z_CA

Токи в линии определяются как разности соответствующих

П_АВ П_СА токов нагрузки и т. д.

Если на зажимах несимметричной трехфазной нагруз­ки, соединенной треугольником, заданы фазные напря­жения Uа, й_в и l/c источника, соединенного в звезду, то линейные напряжения на зажимах нагрузки находятся как разности соответствующих фазных напряжений, в результате чего задача сводится к только что рассмот­ренному случаю (рис. 12-16).

1 Таким образом, термином «фаза» в электротехнике обозначаются два понятия: угол, определяющий стадию периодического процесса, и составная часть многофазной цепи.

2 Следует отметить, что на практике применяются также трехфазные генераторы, в которых полюсы неподвижны, а обмотки вращаются.