§ 9. Векторный метод решения задач.

Этот метод используется в случае, если при сложении векторов получается замкнутый треугольник. Это может быть треугольник скоростей, сил, импульсов, напряжённостей электрических и индукций магнитных полей.

Задача № 47. Мальчик и девочка решили попасть из пункта А в пункт В, расположенные на противоположных берегах реки, скорость течения которой u. Мальчик плывёт так, чтобы сразу оказаться в пункте В. Девочка направляет скорость своего плавания поперёк скорости течения реки и, чтобы попасть в пункт В, должна пройти по противоположному берегу то расстояние, на которое её снесёт течением. С какой скоростью должна перемещаться девочка по берегу, чтобы оказаться в пункте В одновременно с мальчиком? Скорости и мальчика, и девочки относительно воды одинаковы и равны V.

При решении используем закон сложения скоростей, согласно которому скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна сумме скорости относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы. На рис. 50,а показана скорость мальчика V₁ относительно берегов, которая получается путём сложения скорости мальчика относительно воды V и скорости течения реки u. Модуль скорости V₁ определим по теореме Пифагора: V₁ = (V² – u²) ^1/2. (9.1)

Время, за которое мальчик сумеет переплыть реку по прямой АВ, определим по формуле: t₁ = L / V₁, (9.2)

где L – ширина реки.

На рис. 50,б показана скорость девочки V₂ относительно берегов реки, которая также равна сумме векторов скоростей девочки относительно воды V и течения реки u. Однако по модулю она равна

V₂ = (V² + u²)^1/2. (9.3)

Время, которое потребуется девочке, чтобы переплыть реку по прямой АС равно: t₂ = L / V, (9.4)

т.к. вдоль прямой АВ она плывёт со скоростью V. Поскольку V > V₁, то t₂ < t₁ на величину Δt = t₁ - t₂ = L (1/V₁ – 1/V). (9.5)

Девочка приплывает в пункт С и, чтобы попасть в пункт В вместе с мальчиком ей требуется перемещаться по прямой ВС со скоростью

V ^‘ = S/ Δt , (9.6)

где S – длина прямой ВС, представляющая собой расстояние, на которое сносит девочку течение реки. Из подобия векторного треугольника и треугольника АВС (рис. 50,б) составим пропорцию S/L = u/V, откуда найдём S:

S = Lu/V. (9.7)

Скорость перемещения девочки по прямой ВС будет равна:

V ^‘ = S/ Δt = Lu / VΔt ,

или после подстановки значения Δt из (9.5) и V₁ из (9.1):

V ^‘ = u / V(1/V₁ – 1/V) = u / V[1/(V² – u²) ^1/2 – 1/V]. (9.8)

Задача № 48. Однородный стержень массой 0,1 кг укреплён одним концом в шарнире и удерживается в равновесии с помощью нити, прикреплённой к другому её концу. Угол α между стержнем и вертикальным направлением равен 30^о. Найдите силы натяжения нити и реакции шарнира, если нить расположена горизонтально (рис. 51,а).

Сила реакции N шарнира, приложенная к стержню, не имеет вполне определённого направления, поэтому для его определения используем следующее положение: если стержень находится в равновесии под действием трёх сил, то система сил должна быть сходящейся. Следовательно, линия действия силы N должна проходить через точку D – точку пересечения линий действия сил mg и T, образуя угол β с вертикалью (рис. 51,а).

При равновесии силы должны образовать замкнутый прямоугольный треугольник (рис. 51,б). Угол β - угол между векторами N и mg, который нужно определить. Точка С- центр масс однородного стержня делит его длину пополам. Линия действия силы mg проходит через середину стержня параллельно вертикали ОВ, следовательно точка D, через которую она проходит, делит отрезок АВ пополам: AB = 2 BD. (9.9)

Сторона АВ треугольника АВО связана со стороной ОВ соотношением:

АВ = ОВ tgα. Сторона BD треугольника DВO связана с этой же стороной ОВ соотношением: BD = ОВ tg β.

Рис. 51.

Подставив выражения для АВ и ВD в (9.9), получим соотношение:

tg α = 2 tg β, откуда tg β = (tg α)/2.

Из силового треугольника (рис. 51,б) сила натяжения нити определится так:

Т = mg tgβ = mg (tg α)/2; (9.10)

T = 0,1 ^. 9,8 ^. 0,5 ^. tg 30^o = 0,28 H.

Силу реакции шарнира N определим по теореме Пифагора:

N = [ T² + (mg)²]^1/2 (9.11)

N = [0,28² + (0,1 ^. 9,8)²]^1/2 = 1,02 H.

Задачу № 9 (стр.12) можно решить не только координатным методом, но и векторным.

На шарик действуют силы: mg - сила тяжести, F_A - архимедова сила, T - сила натяжения нити и F_E - сила, действующая на заряд шарика со стороны электрического поля (рис. 10).

Произведя сложение векторов этих сил, получим векторный треугольник со сторонами (mg – F_A), F_E и Т. По условию равновесия сумма векторов сил должна быть равна нулю, поэтому конец вектора Т должен совпасть с началом вектора mg (рис. 62). Так как сила натяжения направлена вдоль нити, а сила тяжести вертикально вниз, то между ними будет угол α . Угол между векторами mg и F_E прямой. Отношение противолежащего катета к прилежащему для угла α равно тангенсу этого угла:

tg α = F_E / (mg – F_A). (9.9)

Получаем уравнение идентичное уравнению (1.63)

Задача № 49. Два точечных заряда q₁ = + q и q₂ = - 2q расположены на расстоянии r друг от друга. Определить напряжённость электрического поля в точке, которая находится на расстоянии r₁ от первого заряда и на расстоянии r₂ от второго.

Напряжённость электрического поля, созданного точечным зарядом в точке, находящейся на расстоянии r от него, определяется по формуле:

Е = q/ 4πε₀r². (9.17)

Напряжённость поля, созданного зарядом q₁ в точке С, равна

Е₁ = q₁ / 4πε₀r₁ ². (9.18)

Так как заряд q₁ положительный, то вектор Е₁ направлен от заряда q₁.

Напряжённость поля, созданного зарядом q₂ в точке С, равна

Е₂ = q₂ / 4πε₀r₂ ². (9.19)

Вектор Е₂ направлен к заряду q₂ , поскольку он является отрицательным.

Согласно принципу суперпозиции, напряжённость поля, созданного системой зарядов, определяется векторной суммой напряжённостей, созданных в этой точке каждым из зарядов этой системы. На рис. 53,а сложение векторов осуществлено по правилу параллелограмма, на рис. 53,б – по правилу треугольника.

Модуль вектора Е определим по теореме косинусов, согласно которой

Е² = Е₁² + Е₂² – 2Е₁Е₂ cos α. (9.20)

Для определения cos α запишем теорему косинусов для треугольника АВС:

r² = r₁² + r₂² – 2r₁r₂ cos α. (9.21)

Отсюда cos α = ( r₁² + r₂² - r²) / 2r₁r₂. (9.22)

Тогда Е = [Е₁² + Е₂² – Е₁Е₂ ( r₁² + r₂² - r²) / r₁r₂ ]^1/2 , (9.23)

где Е₁ и Е₂ рассчитаны по формулам (9.18) и (9.19).

Задача № 50. Частица массы 2m налетает на неподвижную частицу массы m. После столкновения частицы разлетаются симметрично под углом 45^о к направлению начальной скорости (рис.54,а). Во сколько раз возросла суммарная кинетическая энергия после столкновения?

По закону сохранения импульса геометрическая (векторная) сумма импульсов частиц после столкновения должна быть равна импульсу налетающей частицы массы 2m до столкновения (рис. 54,б). Так как углы при основании импульсного треугольника, каковым является вектор импульса р, равны между собой и равны 45^о, то импульсный треугольник является равнобедренным и прямоугольным. Отсюда следует, что импульсы частиц после столкновения равны по модулю: р₁ = р₂. (9.23)

Рис. 54.

Импульс налетающей частицы согласно (рис. 54,б) р = 2^1/2р₁ (9.24)

Кинетическая энергия налетающей частицы

Е_к = р²/4m = 2р₁²/ 4m = р₁²/ 2m . (9.25)

Суммарная кинетическая энергия частиц после столкновения равна:

Е_к1 + Е_к2 = (р₁²/ 2m) + (p₂²/ 4m) = 3p₁²/4m. (9.26)

Отношение суммарной кинетической энергии частиц после столкновения к кинетической энергии налетающей частицы равно:

(Е_к1 + Е_к2)/ Е_к = 3p₁² 2m / p₁² 4m = 3/2 = 1,5. (9.27)

Парадоксальность результата объясняется переходом собственной энергии частиц в кинетическую энергию их движения после столкновения.

Задача № 51. По двум длинным параллельным проводникам, расположенным на расстоянии r, текут токи I₁ и I₂ в направлениях, указанных на рис. 55,а, на котором изображены сечения проводников плоскостью, перпендикулярной им. Определить индукцию магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии r₁ от первого проводника и на расстоянии r₂ от второго.

а) Рис. 55. б)

Линии магнитной индукции для прямого проводника с током являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника, лежащими в плоскостях, перпендикулярных проводнику. Направление линий индукции определяется по правилу буравчика. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линии магнитной индукции и совпадает с ней по направлению. Если r₁ – радиус линии индукции магнитного поля проводника с током I₁, то вектор индукции В₁ перпендикулярен радиусу r₁. Аналогично вектор В₂ перпендикулярен радиусу r₂ линии индукции магнитного поля проводника с током I₂. Вектор магнитной индукции в указанной по условию точке согласно принципа суперпозиции складывается из векторов магнитной индукции В₁ и В₂. На рис. 55,а сложение произведено по правилу параллелограмма, а на рис. 55,б по правилу треугольника. Угол между векторами В₁ и В₂ (рис. 55,б) равен углу между r₁ и r₂ (рис. 55,а) как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Как и в задаче № 49 для определения модуля вектора В используем теорему косинусов, согласно которой

В = (В₁² + В₂² – 2В₁В₂ cos α)^1/2, (9.28)

а cos α по той же теореме, но только для треугольника r, r₁, r₂:

cos α = (r₁² + r₂² – r)/ 2r₁r₂. (9.29)

Тогда, В = [В₁² + В₂² – В₁В₂(r₁² + r₂² – r)/ r₁r₂]^1/2, (9.30)