- •Задания на курсовую работу по программированию на третий семестр для бакалавров по направлению 010300 Математика. Компьютерные науки.
- •Вычисление второй производной
- •4.1.2. Численное интегрирование функций
- •Численная фильтрация
- •Процесс Эйткена
- •Критерий размытости оценки
- •Визуализация результатов экстраполяции
- •5. Пример курсовой работы
- •Уфимский государственный авиационный технический университет
Вычисление второй производной
Для приближенного вычисления второй производной в качестве примера используем формулу [1]
, (4)
где определяется по формуле (3).
Отметим, что значения правой и левой разностных производных в точке одновременно являются центральными разностными производными и , рассчитанными соответственно в точках и (см. рис. 1).
Рис 1. Схема численного дифференцирования
Тогда
. (5)
4.1.2. Численное интегрирование функций
Пусть необходимо вычислить определенный интеграл от некоторой непрерывной функции f(x)
. (6)
Численное значение интеграла равно площади, заключенной между кривой y= f(x), осью x и вертикальными прямыми x=a и x=b (рис. 2).
Разобьем отрезок интегрирования на n частей. Введем в рассмотрение последовательность узловых точек xj[a,b], xj=a+jh, j=0,...,n. Величина называется шагом разбиения. Обозначим fj=f(xj).
С помощью такого разбиения площадь криволинейной фигуры удается вычислить намного точнее и проще, чем без разбиения (см. рис. 2).
Рис. 2. Численное интегрирование
Таким образом, интеграл представляется суммой интегралов
. (7)
Метод левых прямоугольников
Вместо площади криволинейной фигуры вычисляется площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции f(x) в крайней левой точке (рис. 3,а)
. (8)
. (9)
а |
б |
Рис. 3. Методы левых (а) и правых (б) прямоугольников
Метод правых прямоугольников
Вместо площади криволинейной фигуры вычисляется площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции f(x) в крайней правой точке (рис. 3,б)
. (10)
. (11)
Метод средних прямоугольников
Для вычисления интеграла можно использовать значение функции в середине отрезка (рис. 4,а)
. (12)
. (13)
Метод трапеций
Теперь рассмотрим численное интегрирование фигуры, полученной путем соединения отрезком прямой двух точек на графике функции. Полученная фигура является трапецией (рис. 4,б). Тогда интеграл приближенно равен ее площади
, (14)
(15)
а |
б |
Рис. 4. Методы средних прямоугольников (а) и трапеций (б)
4.2. Применение экстраполяции для оценки погрешности
Для тестовых примеров, имеющих аналитическое решение можно найти разность между приближенным и точным результатом. Распространение этой оценки на другие примеры очень ненадежно. Выход может быть найден, если вместо точного использовать приближенное, но более точное по сравнению с проверяемым значение. Однако при этом возникают два вопроса: как получить это более точное значение и как проверить, что оно действительно точнее исходного.
Более точное значение можно вычислить, пользуясь тем же способом, что и проверяемое. Но это приводит к дополнительным требованиям к ресурсам, которые могут оказаться невыполнимыми. Есть и другой способ: использовать более грубые результаты (с меньшим числом узлов и временем счета). Если погрешность метода подчиняется некоторому закону, то, зная этот закон (в виде характера зависимости, например, степенной, экспоненциальный и т.п.), можно по нескольким результатам провести идентификацию и приближенно предсказать значение, соответствующее бесконечному числу узлов.
Ответить на второй вопрос можно с помощью повторной экстраполяции, т.е. экстраполяцией экстраполированных результатов, полученных для разных наборов исходных данных. В этом случае получается оценка погрешности экстраполированных результатов (или размытость оценки погрешности). Если эта оценка удовлетворяет требованиям: в три и более раз меньше оценки погрешности исходных данных (относительная размытость меньше 1/3 [9]), то цель достигнута. Если нет, то данный способ оценки в конкретном случае следует признать ненадежным. Подробнее о критерии надежности сказано ниже.
Кроме того, при хороших оценках результаты экстраполяции можно использовать вместо вычисленных данных, как более точные. При этом необходима дополнительная экстраполяция, чтобы убедиться в надежности полученных таким способом результатов. В некоторых случаях путем повторной экстраполяции можно получить результаты, на многие порядки более точные, чем рассчитанные непосредственно с помощью численного метода, и чего невозможно было бы добиться прямым расчетом в связи с огромными затратами времени, превышающими разумные пределы.