![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Задача 1,в
Для стальной балки (рис.4.87), состоящей из двух швеллеров [], требуется:
-
Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2. подобрать поперечное сечение балки из условия прочности балки по допускаемым напряжениям.
Исходные числовые данные: P=3кН,
М=4кНм,
q1
=4 кН/м, q2=2q1
= 8 кН/м, l
= 1м, допускаемое напряжение
= 160 МПа.
Рис.4.87. Заданная схема балки
-
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих
моментов
1.1.
В соответствии
с исходными данными вычерчиваем расчетную
схему балки, на которой показываем
опорные реакции
и
.
Реакцию
направляем вверх, опорный момент
- по часовой стрелке (рис.4.88).
Рис.4.88. Расчетная схема заданной балки
1.2. Определение опорных реакций из условий равновесия балки:
Так
как одна из реакций опор отрицательна
(реакция),
ее направление изменяется на
противоположное, а направление опорного
момента остается без изменений.
1.3. Проверка правильность вычисления опорных реакций:
Для проверки вычислений составляется уравнение равновесия балки, в которое входили бы обе опорные реакции:
Уравнение равновесия при найденных величинах реакций удовлетворяется.
1.4. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов аналитический способом.
1.4.1. Разбиение балки на участки.
Составление уравнений для вычисления
и
их определение в граничных сечениях.
Для записи уравнений
разбиваем балку на три участка - AB,
BC, CD,
в пределах которых эти уравнения
справедливы. Начало координат - в крайнем
левом сечении балки (рис. 4.89).
В
пределах каждого участка выбираем
произвольное сечение на расстоянии z
от начала
координат и составляем выражения для
вычисления Q
и M:
Участок AB (0<z<1).
Рис. 4.89. К определению поперечной силы Q и изгибающего
момента М в произвольном сечении z участка АВ
Поперечная сила, действующая в рассматриваемом сечении, определяется из выражения
.
Она линейно зависит от переменной z, следовательно, эпюра Q ограничена наклонной прямой.
Изгибающий момент
.
Эпюра изгибающего момента в пределах участка AB ограничена квадратной параболой выпуклой вверх.
Примечание:
при записи уравнения
и
знаки поперечной силы Q
и изгибающего
момента M
определяются
с помощью рис. 4.16 и рис. 4.17.
Поперечная сила в начале и конце участка AB:
начало участка, сечение А, z =0,
конец участка, сечение В, z = 1м,
Поскольку поперечная сила на участке AB изменила знак с плюса на минус, проходя при этом через ноль, в сечении с абсциссой z0, изгибающий момент имеет максимум.
Расстояние z0 найдем из выражения:
Q (z0 ) = P - q· z0 = 3 - 4· z0 = 0 .
Очевидно, что
Изгибающий момент в начале и конце участка AB:
начало участка, сечение А, z =0,
конец участка, сечение В, z =1м,
Эпюра изгибающего момента в пределах участка AB ограничена квадратной параболой выпуклой вверх и имеющей максимум.
Максимальный изгибающий момент в сечении с абсциссой z0
Участок BС ( 1<z<2).
Рис. 4.90. К определение поперечной силы Q и изгибающего
момента М в произвольном сечении z участка ВС
Поперечная сила, действующая в рассматриваемом сечении (рис.4.90)
,
Поперечная сила не зависит от переменной z на протяжении всего участка, и эпюра Q ограничена прямой, параллельной ее оси.
Изгибающий момент
Поскольку изгибающий момент линейно зависит от переменной z, эпюра М ограничена наклонной прямой.
Изгибающий момент в начале и конце участка BС:
начало участка, сечение В, z = 1м,
конец участка, сечение C, z =2м,
Участок СD (2<z<3).
Рис. 4.91. К определению поперечной силы Q и изгибающего
момента М в рассматриваемом сечении z участка СD
Поперечная сила в рассматриваемом сечении с абсциссой z (рис. 4.91):
.
Поперечная сила линейно зависит от переменной z, эпюра Q ограничена наклонной прямой.
Изгибающий момент в рассматриваемом сечении с абсциссой z
.
Эпюра изгибающего момента в пределах участка СD ограничена квадратной параболой выпуклой вниз.
В сечении С приложена пара сил, что на эпюре изгибающих моментов вызывает скачок, величина которого равна величине приложенной пары.
Поперечная сила в начале и конце участка СD:
начало участка, сечение C, z =2 м
конец участка, сечение D, z = 3м,
Поскольку поперечная сила на участке СD изменила знак с минуса на плюс, проходя при этом через ноль, в сечении с абсциссой z01, изгибающий момент имеет минимум. Расстояние z01 найдем из выражения:
очевидно,
что
Изгибающий момент в начале и конце участка СD:
начало участка, сечение C, z = 2м,
конец участка, сечение D, z = 3м,
Эпюра изгибающего момента в пределах участка СD ограничена квадратной параболой выпуклой вниз и имеющей минимум.
Минимальный
изгибающий момент в сечении с абсциссой
z01
= 2,125м
-
Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Эпюры перечных сил Q и изгибающих моментов М строятся в выбранном масштабе по их значениям на границах участков. Положительные величины откладываются вверх от оси эпюры (эпюра строится на сжатом волокне), отрицательные – вниз. Эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М показаны на рис. 4.92,б,в.
Рис. 4.92. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих
моментов: а - расчетная схема балки; б - эпюра поперечных сил; в - эпюра
изгибающих моментов
-
Подбор поперечного сечения
2.1.Определение требуемого осевого момента сопротивления поперечного сечения.
Из условия прочности при изгибе требуемый осевой момент сопротивления
.
Учитывая,
что по условию задачи
= 160 МПа
и максимальное по абсолютной величине
значение изгибающего момента
,
определяем значение
.
Заданное сечение является составным, включающим два одинаковых швеллера.
Осевой момент сопротивления подобного сечения определяется по формуле
.
Таким образом, требуемый по условию прочности осевой момент сопротивления швеллера
.
Номер
швеллера, имеющего осевой момент
сопротивления, близкий к требуемому,
определяем по таблице сортамента (ГОСТ
8240-72). Принимаем швеллер № 6,5, для которого
.
Максимальное нормальное напряжение, действующее в балке, поперечное сечение которой состоит из двух швеллеров № 6,5