3 Вопрос. Производящая функция.

Функция , разложение которой по степеням z (где z – произвольный параметр) даёт в качестве коэффициентов вероятности значений СВ Х, называется производящей функцией для этой СВ.

Пример 4.

В билетном зале 3 кассы. Вероятность того, что с 12 часов до 13 они работают, соответственно равны 0.9, 0.8, 0.7. Составьте закон распределения числа работающих касс в течение этого часа, и вычислите числовые характеристики этого распределения.

Решение:

СВ Х – число работающих касс в течение часа – может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Вероятности успеха, т.е. того, что каждая из касс работает, по условию равны соответственно р₁ = 0,9; р₂ = 0,8; р₃ = 0,7. Тогда вероятности того, что каждая из касс не будет работать, равны q₁ = 0,1; q₂ = 0,2; q₃ = 0,3.

Распределение СВ Х можно получить через производящую функцию.

= (q₁ + p₁z)(q₂ + p₂z)(q₃ + p₃z) = (0,1 + 0,9z)(0,2 + 0,8z)(0,3 + 0,7z) =

= 0,504z³ + 0,398z² + 0,092z + 0,006.

Каждый из 4-х полученных коэффициентов при z^m (m = 0, 1, 2, 3) в функции выражает соответствующую вероятность P(X=m).

Тогда распределение СВ Х – числа работающих касс – следующее:

Число успехов, X=m (xi)	0	1	2	3
Вероятности, Рn, m (pi)	0,006	0,092	0,398	0,504

0,006 + 0,092 + 0,398 + 0,504 = 1

Найдем числовые характеристики этого распределения:

- Математическое ожидание:

кассы.

Т.е. из трёх касс в билетном зале в течение следующего часа будет работать в среднем 2,4 кассы.

- Дисперсия:

Д/з – решить эту задачу, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Д/з – доказать, что формула Бернулли является частным случаем вычисления вероятностей Рn, m более общего способа через ПФ. См.: 2. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – С. 111 – 114.

4 Вопрос. Гипергеометрическое распределение

ДСВ Х имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения 0, 1, 2, 3,…, min(n,M) с вероятностями

,

Вспомните уже знакомую вам схему невозвращённого шара:

N

М N-M

n

m n-m

Если по формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения, называемый гипергеометрическим законом распределения.

X=m (xi)	Вероятности, Р(X=m) (pi)
0
1
2
3
…	…
m
…	…
n
Сумма	1

Функция распределения F(x):

Математическое ожидание

Дисперсия:

- поправка на бесповторность выборки.

Пример 5.

Менеджер по персоналу рассматривает кандидатуры 12 человек, из которых 4 женщины, подавших заявление о приёме на работу в крупную фирму. Будут приняты только 5 человек.

Составьте ряд распределения числа женщин, среди лиц, занявших вакантные должности, и постройте его график.

Найдите числовые характеристики этого распределения.

Запишите функцию распределения и постройте её график.

Чему равна вероятность того, что менее 3-х женщин займут предложенные вакансии?

Решение:

СВ Х - число женщин, среди лиц, занявших вакантные должности – принимает значения 0, 1, 2, 3, 4.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

Очевидно, что отбор кандидатов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.

Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина – число женщин среди лиц, занявших вакантные должности - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Изобразим ситуацию на схеме:

12 кандидатов

4 женщины 8 мужчин

5 вакансий

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений по формуле:

,

По условию задачи N=12, M=4, n=5, m=0, 1, 2, 3, 4

Занесем полученные результаты в таблицу:

Хi	0	1	2	3	4
Рi	0,0707	0,3535	0,4242	0,1414	0,0101

0,0707 + 0,3535 + 0,4242 + 0,1414 + 0,0101 = 0,9999  1.

График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины (полигон распределения вероятностей) изображен на рис 23

Рисунок 23.

Найдем числовые характеристики данного биномиального распределения: М(Х), D(Х), .

Математическое ожидание определим 2-мя способами:

- как М(Х) ДСВ

- как М(Х) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

женщин

Итак, среди случайно выбранных 5-х кандидатов можно ожидать появление в среднем 1,6667 женщин (точнее, менее двух).

Дисперсию определим:

- как D(X) ДСВ

- как D(X) ДСВ, распределённой по гипергеометрическому закону

Среднее квадратическое отклонение

Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Х	x  0	0 < x  1	1 < x  2	2 < x  3	3 < x  4	x > 4
F(x)	0	0,0707	0,4242	0,8484	0,9898	1

График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рис. 24).

Рисунок 24. Функция распределения вероятностей.

Определим вероятность того, что среди 5-х отобранных кандидатов на должности окажется меньше трёхх женщин. «Меньше трёх» - это «или ноль, или одна, или две».

Можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,0707 + 0,3535 + 0,4242 = 0,8484.

Таблицы гипергеометрических вероятностей

В таблицах приводятся вероятности Р(Х=m) (в таблицах p(x)) при различных значениях N, M (в таблицах k), m (в таблицах х) и n. Так же приводятся значения накопленных вероятностей гипергеометрического распределения (в таблицах P(x)), т.е. табулированы значения интегральной функции (функции распределения)

Ниже приведён отрывок из Приложения 8 (Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005).

В таблице подчёркнуты вероятности, имеющие отношение к нашему примеру.

Значения функций N

и P(x, N, n, k)=p(i, N, n, k) k n N-k

x n-x

n	k	x	P(x)	p(x)
N=12
5	1	0	0,5833	0,5833
5	1	1	1,0000	0,4167
5	2	0	0,3182	0,3182
5	2	1	0,8485	0,5303
5	2	2	1,0000	0,1515
5	3	0	0,1591	0,1591
5	3	1	0,6364	0,4773
5	3	2	0,9545	0,3182
5	3	3	1,0000	0,0455
5	4	0	0,0707	0,0707
5	4	1	0,4242	0,3535
5	4	2	0,8485	0,4242
5	4	3	0,9899	0,1414
5	4	4	1,0000	0,0101
5	5	0	0,0265	0,0265
5	5	1	0,2475	0,2210
5	5	2	0,6894	0,4419
5	5	3	0,9545	0,2651
5	5	4	0,9987	0,0442
5	5	5	1,0000	0,0013

Использование EXCEL для вычисления гипергеометрических вероятностей.

Удобно рассчитывать гипергеометрические вероятности с помощью встроенной в EXCEL функции ГИПЕРГЕОМЕТ со следующими характеристиками:

ГИПЕРГЕОМЕТ (пример_s; размер_выборки; ген_совокупность_s; размер_ген_совокупности), где

пример_s – количество успешных испытаний в выборке m;

размер_выборки – разиер выборки n;

ген_совокупность_s – количество успешных испытаний в генеральной совокупности M;

размер_ген_совокупности – размер генеральной совокупности N.

Например, на рисунке 25 показана функция ГИПЕРГЕОМЕТ для вычисления вероятности того, что среди отобранных 5-ти человек на вакантные должности не будет ни одной женщины, т.е. Х=0. В ячейке А1 содержится формула =ГИПЕРГЕОМЕТ(0;5;4;12) с результатом 0,070707071

Рисунок 25.

На рисунках 26 – 29 показаны функции ГИПЕРГЕОМЕТ для вычисления вероятностей того, что среди 5-ти человек будут ровно 1 (рис. 26), 2 (рис. 27), 3 (рис. 28) и 4 (рис. 29) женщины.

Рисунок 26.

Рисунок 27.

Рисунок 28.

Рисунок 29.