- •Раздел 1: теория вероятностей
- •Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей
- •4 Вопрос. Классическое определение вероятности события
- •5 Вопрос. Свойства вероятностей.
- •6 Вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.
- •Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2 Вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события
- •3 Вопрос. Формула полной вероятности
- •4 Вопрос. Вычисление вероятностей гипотез . Формула Байеса.
- •5 Вопрос. Формула Бернулли . Повторные испытания
- •6 Вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшее) число появлений события
- •Тема 3. Случайные величины
- •2 Вопрос. Дискретные случайные величины. Интегральная функция распределения дсв, ее свойства.
- •Интегральная функция распределения
- •3 Вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.
- •4 Вопрос. Числовые характеристики дсв. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.
- •5 Вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дсв. Свойства дисперсии.
- •6 Вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения нсв.
- •График функции распределения для непрерывной случайной величины
- •7 Вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания нсв в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.
- •Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •Связь функции распределения с плотностью распределения
- •8 Вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •9 Вопрос. Моменты случайных величин
Интегральная функция распределения
F(x)=P(X≤x)= (или строго <)
Р
1 … р1 + р2 р1
х1 х2…..хn х
|
3 Вопрос. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.
Пусть случайная величина X принимает значения: x1,x2,..., xn с вероятностями p1, р2, ..., рn, а случайная величина Y принимает значения у1, у2.., уm с вероятностями q1, q2,..,qm.
Определим некоторые операции над случайными величинами.
1. сХ: cx1, cx2, ...,схn
2. X2 : x12,x22,...,xn2
3. X±Y : xi±yj (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)
pi qj
4. X*Y: xi*yj (i=l,2,...,n; j=l,2, ...,m)
piqj.
4 Вопрос. Числовые характеристики дсв. Ожидаемое значение дискретной случайной величины.
Математическое ожидание ДСВ Х:
Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
1. М(с)=с
2. М(сХ)=сМ(Х)
3. M(XY)=M(X)M(Y)
4. M(XY)=M(X)M(Y)
5. М(Хс)=М(Х) с
Следствие. М[Х-М(Х)]=0
6. М(Х)=М(Хi).
5 Вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дсв. Свойства дисперсии.
Дисперсия ДСВ:
Свойства дисперсии дискретной случайной величины.
1. D(c)=0
2.D(cX)=c2D(X)
3. D(X±Y)=D(X)+D(Y)
4. Если X1,X2,...,Xn. - одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсии каждой из которых равны σ2, то дисперсия их суммы равна n σ2, а дисперсия средней арифметической равна σ2/n ,т.е. D(X)=σ2/n
5. Упрощенная формула для вычисления дисперсии ДСВ: σ2=D(X)=M(X2)–[M(X)]2, где
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ДСВ равно корню квадратному из дисперсии:
6 Вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения нсв.
Функция распределения F(x)
F(x) = Р(Х < х)
Свойства F(x)
1. 0 ≤ F(Х) ≤ 1
2. F(x2)≥ F(x1), если х2 > x1
Следствие 1. P(α<X<β) = F(β) – F(α)
3. F(X)=0 при Х ≤ α и F(X) = 1 при X>β.
График функции распределения для непрерывной случайной величины
F(x)
F(x)=1 1
F(x)=0
x |
7 Вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания нсв в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.
f(x)=F`(x).
Свойства дифференциальной функции f(x)
1. f(x)≥0
2.
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Связь функции распределения с плотностью распределения
8 Вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание НСВ:
Дисперсия НСВ:
Для дисперсии НСВ справедлива формула:
σ2=D(X)=M(X2)–[M(X)]2, где
Пример:
Задана интегральная функция распределения F(x) НСВ следующим образом:
Найти плотность распределения f(x), вероятность P(2<X<4), вычислить числовые характеристики распределения этой НСВ и построить графики F(x) и f(x)
Решение:
1. Плотность распределения (дифференциальную функцию) найдём как первую производную от интегральной функции:
2. P(2<X<4) можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность f(x):
1 способ.
P(α<x<β) = F(β) – F(α)
P(2<x<4) = F(4) – F(2) =
2 способ.
3. По формуле найдём математическое ожидание НСВ
По формуле найдём дисперсию НСВ
Вычислим дисперсию по формуле σ2=D(X)=M(X2)–[M(X)]2,найдя вначале M(X2)
Теперь σ2=D(X)=18 – 42= 2 кв. ед.
4. Графики интегральной функции F(x) и дифференциальной функции f(x) изображены на рисунках 1 и 2.
F(x)
F(x)=1 1
F(x)=0 0 6 x Рисунок 1. |
f(x)
1/3
f(x)=x/18 P(2<X<4)
f(x)=0 f(x)=0
0 2 4 6 x Рисунок 2. |