- •Тема. Краевые задачи и реологические модели сред при омд.
- •Решение должно существовать.
- •Решение должно определяться однозначно (единственность решения).
- •Модели идеальных пластических сред в теории омд (наиболее распространенные)
- •1. Изменение свойств металла при холодной обработке давлением
- •Упрочнение при холодной обработке металлов давлением
- •Кривые упрочнения
- •Феноменологическая теория хрупкого разрушения
- •Дислокационные модели процесса разрушения
- •Разрушение.
- •II. Трещины
- •III. Накопление повреждений
Тема. Краевые задачи и реологические модели сред при омд.
Исследование процессов, протекающих в сплошной среде – расчет температурных полей, напряжений и деформаций, анализ условий разрушения, - приводит к необходимости изучения соответствующих физических полей. В условиях стационарного процесса эти поля остаются неизменными во времени, для нестационарных процессов изменяются во времени, отражая влияние различных факторов. Решение конкретной задачи сводится к анализу распределения соответствующих переменных (температур, напряжений, деформаций и т.д.) во времени и в пространстве. Если задача поставлена правильно, то ее условия должны включать полный набор исходных данных для того, чтобы решение существовало, было единственным, а неизбежная погрешность этих данных мало влияла на точность решения. Это означает, что задача должна быть поставлена корректно.
Изученные кинематические зависимости и определяющие уравнения представляют собой математическую модель внутреннего механизма изучаемых процессов. Они не описывают условий взаимодействия тела с окружающей средой, его начального состояния. В связи с этим необходимо дополнительно рассмотреть совокупность данных, определяющих начальное состояние тела (начальные условия) и описывающих влияние окружающей среды на протекающие в теле процессы (граничные условия). Вместе они образуют условия единственности решения рассматриваемой задачи, объединяясь в понятие краевых условий. При этом имеются в виду «края» той пространственно-временной области, в пределах которой происходит исследуемый процесс.
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Краевая задача должна удовлетворять следующим основным требованиям:
-
Решение должно существовать.
-
Решение должно определяться однозначно (единственность решения).
Решение должно непрерывно зависеть от данных задач (устойчивость).
Задачи теории пластичности применительно к ОМД являются краевыми залачами.
Поставить краевую задачу – значит правильно выбрать:
-
соответствующую ей замкнутую систему уравнений;
-
сформулировать начальные и граничные условия на поверхности тела.
Решить краевую задачу – значит по заданным условия на поверхности тела (усилим или перемещениям) определить:
● поле напряжений;
● поле деформаций;
● поле перемещений в деформированном объеме, т.е. найти
σх = σх (х,y,z ) ; σy = σy (х,y,z ); σz = σz (х,y,z );
τxy = τxy (x, y, z); τxz = τxz (x, y, z); τуz = τуz (x, y, z);
εх = εх (x, y, z ); (x, y, z ); εу (x, y, z ); = εz (x, y, z ); ….;
γxy = γxy ( x, y, z ); γуz = (x, y, z ): γxz = (x, y, z ).
Таким образом, в результате решения задачи математической пластичности применительно к процессам ОМД необходимо получить аналитические методы расчета:
-
Требуемых энергосиловых параметров изучаемого процесса ОМД;
-
Изменение размеров и формы тела в результате пластического деформирования;
-
Напряжений и деформаций в каждой точке деформируемого тела.
Краевая задача должна удовлетворять следующим основным требованиям:
1 Решение должно существовать. Это означает, что ограничения, накладываемые на решения не должны быть противоречивыми.
2 Решение должно быть единственным. Неоднозначность или неопределенность должны быть исключены.
3 Решение должно быть устойчивым относительно малых изменений краевых условий, т.е изменяться сколь угодно мало , если достаточно мало изменены условия.
Краевые условия представляют собой модель начального состояния тела и его взаимодействия с окружающей средой в процессе деформации. Поэтому при задании краевых условий неизбежны погрешости, но эти погрешности в определении напряженно-деформированного состояния в решении краевой задачи должны быть того же порядка. Задача, удовлетворяющая всем этим требованиям называется корректно поставленной задачей. Корректность задачи обеспечивается необходимым числом краевых условий и правильной формулировкой, а также рядом ограничений, накладываемых на вид функций, входящих в замкнутую систему уравнений и краевые условия.
Связь между σ и έ непосредственно связана с природой металла (σs) и его свойствами (σs). Созданием общей теории деформирования (течения) металла занимается реология – наука о поведении металла под нагрузкой с учетом их упругих, пластических и вязких свойств. Сами физические уравнения
σ = Φ (ε ) являются реологическими моделями.
В математической теории пластичности зависимость σs от многочисленных физических факторов выражают уравнением состояния деформируемой среды или уравнениями связи напряженного и деформированного состояний σ = Φ (ε ). Для упрощения расчетов используют несколько моделей сред и соответственно несколько уравнений состояния (рис.)
ПРОСТЕЙШИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.
При ОМД всегда отмечают следующие фундаментальные свойства деформируемого материала: упругость, вязкость и пластичность. Особенности поведения сплошной среды под действием приложенной нагрузки могут быть иллюстрированы комбинацией этих фундаментальных свойств.
Описание поведения реального металла при ОМД производят с помощью простых реологических моделей, описывающие поведение идеализированных сред, изображая их условно механическими элементами.
По-прежнему будем рассматривать линейное напряженное состояние (растяжения стержня). Обозначим σ — соответствующее напряжение, ε — относительное удлинение, ζ = dε/dt— скорость относительного удлинения.
Модель линейно-упругой среды, подчиняющейся закону Гука:
σ = Еε, (1.1)
Проф. Гун Г.Я. условно изображает поведение металла такой среды в виде пружины (рис. 3).
Рис. 3 Реологическая модель ли- Рис. 4. Модель линейно - нейно-упругой среды вязкой среды
Модель линейно-вязкой среды, следующей закону вязкости Ньютона:
σ = μ( dε /dt ) (2)
может быть представлена в виде поршня, перемещающегося в цилиндре, наполненном вязкой жидкостью. При этом жидкость вытекает через зазор между стенкой цилиндра и поршнем (рис. 3), При построении модели жестко-пластической среды будем предполагать, что при напряжениях ниже предела текучести деформации отсутствуют.
Пластическое течение имеет место при напряжении, удовлетворяющем условию текучести
σ = σs. (3)
Представим эту модель в виде груза, покоящегося на плоскости (элемент сухого трения; рис. 4, а).
Перейдем к рассмотрению простейших комбинированных моделей. Соединим последовательно упругий и пластический элементы (рис. 4, б). В результате получим модель упруго-пластической среды. Диаграмма σ—ε для этой среды показана на рис. 4, б. Общая деформация при этом состоит из двух частей: упругой εе и пластической εр :
ε = εе + εр ( 4 )
При снятии нагрузки упругая деформация исчезает, остается пластическая деформация. На рис.3, в, г представлены диаграммы σ - ε для жестко-пластической и упруго-пластической линейно упрочняющейся среды:
dε / dt = 1/E ( dσ/dt + σ/μ ) ( 5 )
Это уравнение соответствует модели упруго-вязкой среды Максвелла. Рассмотрим некоторые свойства этой среды. Пусть напряжения постоянны
( σ= const). Тогда dσ/dt = 0, и материал течет подобно вязкой жидкости.
Рис. 4. Модели пластических сред:
а — жестко-идеально-пластическая среда; б — упруго-идеально-пластическая среда; в— жестко-пластическая линейно-упрочняющаяся среда; г — упруго-пластическая линейно-упрочняющаяся среда
Модель среды Максвелла позволяет описать важное свойство реальных тел, заключающееся в падении по экспоненциальному закону напряжений при неизменной деформации (так называемая релаксация напряжений).
При соединении упругого и вязкого элементов получают модель упруго-вязкой среды Фойгта (рис.6). Очевидно, напряжение σ есть сумма упругой σе — Еε и вязкой σv = μ(dε / dt )
составляющих:
= Е + (d/dt) (6.)
В отличие от выражения (5) уравнение (6) не описывает процесса релаксации, так как при = const напряжение также остается постоянным, а среда ведет себя как упругая.
Рис. 5. Упруго-вязкая среда Максвелла Рис. 6. Упруго-вязкая среда Фойгта
Если напряжение σ остается постоянным, то деформация постепенно нарастает по закону
σ = σ / E {1 – exp [ -- E / μ)t ] }
стремясь к значению σ / Е, т. е. возникает ползучесть.
При последовательном соединении двух элементов вязких и пластических свойств среды получают модель вязко-пластической среды. Она обладает свойствами линейно-вязкой среды при σ < σs и течет подобно идеально пластическому телу при σ = σ s.
Параллельное соединение вязкого и пластического элементов также дает вязко-пластическую среду (среда Шведова—Бингема). Поведение среды описывается уравнением
= s + (d/dt) при s
при < s деформация отсутствует.