Теорема про продовження міри.

Побудуємо мінімальну ( - алгебру, який належить поле подій F (наприклад, борелевска ( - алгебра - це мінімальна ( - алгебра, що містить поле всіх напівінтервалів ненульової довжини).

Тоді доводиться, що счетно-аддитивна функція P(A) однозначно поширюється на всі елементи мінімальної ( - алгебри й при цьому жодна з аксіом не порушується.

Таким чином, продовжене P(A) називається - аддитивною мірою.

( - алгебра містить неспостережувані події поряд зі спостережуваними.

Але в аксіоматичній теорії імовірності вважається, що може відбутися будь-яка подія з ( - алгебри.

Розширення поля спостережуваних подій на ( - алгебру пов'язане з неможливістю одержати основні результати теорії імовірності без поняття ( - алгебри.

Визначення імовірнісного простору.

Імовірнісним простором називається трійка ((, (, P), де

( - простір елементарних подій, побудоване для даного випробування;

( - (-алгебра, задана на ( - системі можливих подій, що цікавить дослідника, у результаті проведених випробувань;

P - аддитивна міра, тобто - аддитивна ненегативна функція, аргументами якої є аргументи з ( - алгебри й задовольняючим трьом аксіомам теорії імовірності.

1. . P(A) - називається ймовірністю настання події A.

2. Імовірність достовірної події дорівнює 1 P(()=1.

3. Імовірність суми неспільних подій дорівнює сумі ймовірностей

, .

k - можливо нескінченне число.

Наслідок:

Імовірність неможливої події дорівнює 0.

По визначенню суми має місце нерівність (+V=(. ( і V неспільні події.

По третин аксіомі теорії імовірності маємо:

P((+V)=P(Q)=P(U)=1

P(()+P(V)=P(()

1+P(V)=1

P(V)=1

Нехай  складається з кінцевого числа елементарних подій ={E₁, E₂,..., E_m} тоді по визначенню . Елементарні події несумісні, тоді по третин аксіомі теорії імовірності має місце

Нехай деяка подія A складається з k елементарних подій, тоді {E_i1, E_i2,..., E_ik}

Довести: Якщо A(B, те P(B)(P(A), B=A+C, A і C несумісні.

* Нехай B=A+C, A і B несумісні. Тоді по третин аксіомі теорії імовірності P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) тому що 1(P(C)(0 - позитивне число, то P(B)(P(A).

Класичне визначення ймовірності.

Нехай ( складається з кінцевого числа елементарних подій і всі елементарні події равновероятни, тобто жодному з них з них не можна віддати переваги до випробування, отже, їх можна вважати равновероятними.

Тоді достовірна подія m - кількість равновероятних подій

, ,

Нехай довільна подія Тоді , тобто подія A складається з k елементарних подій.

Якщо елементарні події є рівноправними, а, отже, і равновероятними, то ймовірність настання довільної події дорівнює дробу чисельник якої дорівнює числу елементарних подій, що входять у дане, а знаменник - загальне число елементарних подій.

Завдання для самоперевірки:

1. Побудова імовірнісного простору

2. Теорема про продовження міри

3. Визначення імовірнісного простору

4. Класичне визначення ймовірності

Література:

1.В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.589-592

Додаткова література:

1.А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.580-585

2.В.Е. Гурман «Теория вероятности и математическая статистика» стр.8-17

Розділ: «Елементи теорії ймовірності»

Матеріал для самостійного вивчення

Тема: Числові характеристики випадкових величин

Ціль: Вивчити основні поняття по даній темі.

План: 1. Випадкова величина

2. Теорема Колмогорова

3. Дискретні випадкові величини

4. Імовірнісні характеристики випадкових величин

5. Безперервні випадкові величини