Розділ: «Інтеграл» Лекція
Тема: Використання визначеного інтеграла для обчислення площ і об'ємів фігур
Ціль: Одержати навички при рішенні завдань по даній темі
Обчислення площ плоских фігур. Відповідно до геометричного змісту певного інтеграла площа S криволінійної трапеції під графіком безперервної ненегативної функції , заданої на відрізку , чисельно дорівнює певному інтегралу (мал. 1).
За допомогою інтеграла можна знаходити площі плоских фігур більше складного виду, чим криволінійна трапеція. Наприклад, площа фігури, обмеженої прямими й , графіками ненегативних функцій і (мал. 2) обчислюється в такий спосіб
.
у
В А
О а b x |
у
В1 А1 А2 В2 О а b x |
у
О а b x
|
у
О а b x |
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Рис. 3 |
Умова незаперечності функцій і можна зняти. Нехай т – найменше значення функції на відрізку . Тоді функції й безперервні й ненегативні на відрізку й можна застосувати останню формулу
Графічна ілюстрація даного прийому наведена на мал. 3.
Обчислення обсягу тіла обертання. Нехай функція безперервна й ненегативна на відрізку . Тоді тіло, що утвориться при обертанні навколо осі Ох криволінійної трапеції (мал. 4), має обсяг
.
у
О а b x
Рис. 4 |
Ця формула виходить як межа інтегральної суми, побудованої тим же прийомом, що використовувався при знаходженні площі криволінійної трапеції: певне наближення для шуканого обсягу дає інтегральна |
сума , i-ий доданок якої є об'ємом циліндра з висотою й радіусом основи .
При об'єм східчастого, складеного із всіх таких циліндрів, тіла прагне до об'єму V тіла обертання
.
За допомогою аналогічного підходу, шляхом побудови інтегральних сум і наступного граничного переходу, вирішуються інші прикладні завдання: визначення довжини дуги кривій, площі поверхні обертання, статичних моментів і центрів ваги системи матеріальних точок, кривих і плоских фігур і ін.
Приклади:
Знайти площу фігури, обмеженої лініями
1.
2.
Завдання для самоперевірки: Знайти площу фігури, обмеженої лініями
Література:
-
«Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.292-302
-
М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 397-406
-
В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.537-545
Додаткова література:
-
А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.359-369
-
Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 1 стр. 491-508