Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет
ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2
Дисциплина: Вычислительная механика
Тема: «Нестационарная одномерная задача теплопроводности
для бесконечного слоя»
Задача №1, вариант 3
Выполнил студент ФМФ МПУ 4055/1
Шевчук Р.Э.
Преподаватель:
Немов А.С.
Санкт-Петербург
2011
1. Постановка задачи
В настоящей работе требуется получить аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности для бесконечного слоя (пластины) в виде бесконечного ряда. Задавшись необходимой точностью и временем, за которое поле температур приближается к некоторому стационарному уровню, вычислить значение температуры для точек с указанными координатами хp с определенным временным шагом.
Для нахождения времени установления стационарного решения рассмотреть наиболее медленно убывающую экспоненту в аналитическом решении в виде ряда и определить время, за которое величина этой экспоненты будет несущественна.
Получить графики изменения температуры во времени для тех же точек с помощью программной системы конечно-элементного анализа ANSYS. При составлении исходных данных для вычислительного эксперимента учитывать, где возможно, симметрию. Сравнить результаты вычислительного эксперимента с аналитическими расчетами.
Материал – сталь (коэффициент теплопроводности k = 43 , плотность = 7800 , удельная теплоемкость cv = 473 ).
Рассматривается пластина толщиной 2a, a = 0.025 м, на гранях которой x = -a, x = a поддерживается нулевая температура. Начальное распределение температуры имеет следующий вид: = f(x). Т0 = 1000С.
2. Аналитическое решение
Ответ, полученный аналитически при решении поставленной задачи (№53 учебного пособия1):
Рассмотрим экспоненту ряда: . Она будет принимать максимальное значение при n = 0. Для нахождения времени установления решения, положим величину экспоненты некой несущественной величиной, например 0.001. Тогда м2. Откуда несложно найти время установления: . Для простоты дальнейших расчетов, примем величину ts равной 150 с.
При заданных значениях параметров, температура на линиях xp = 0 и xp = a/2 в зависимости от времени равна соответственно:
t, с |
T, °C (xp = 0) |
T, °C (xp = a/2) |
0 |
100.0000 |
75.0000 |
10.0000 |
65.0829 |
46.1065 |
20.0000 |
41.1182 |
29.0763 |
30.0000 |
25.9547 |
18.3527 |
40.0000 |
16.3828 |
11.5844 |
50.0000 |
10.3409 |
7.3121 |
60.0000 |
6.5273 |
4.6155 |
70.0000 |
4.1201 |
2.9133 |
80.0000 |
2.6006 |
1.8389 |
90.0000 |
1.6415 |
1.1607 |
100.0000 |
1.0361 |
0.7327 |
110.0000 |
0.6540 |
0.4625 |
120.0000 |
0.4128 |
0.2919 |
130.0000 |
0.2606 |
0.1843 |
140.0000 |
0.1645 |
0.1163 |
150.0000 |
0.1038 |
0.0734 |
Результаты получены при помощи MatLab в интервале изменения t: [0; ts] = [0; 150] с шагом 10 с. для первых двухсот членов теоретического ряда. Полученные графики соответственно: