7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7

7.1. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей положительно определена.

7.2. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

.

7.3. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

.

7.4. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

.

7.5. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

.

7.6. Найти нормальный вид в области вещественных чисел

7.7. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами

.

7.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами

.

7.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами

.

7.10. Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при квадратах неизвестных положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы.

7.11. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел

7.12. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел

7.13. Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма положительно определена

7.14. Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма положительно определена

7.15. Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма положительно определена

Глава 8. Элементы общей алгебры

8.1. Алгебраические операции

Систематизируем понятие алгебраической операции, с которым мы уже встречались в различных разделах курса математики.

Пусть дано множество М. Говорят, что на М определена бинарная алгебраическая операция, если всякой упорядоченной паре элементов множества М по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный элемент этого же множества.

Примерами бинарных операций на множестве целых чисел являются сложение и умножение. Однако нашему определению не удовлетворяют, например, множество отрицательных целых чисел относительно умножения и множество действительных чисел относительно деления из-за невозможности деления на нуль.

Среди известных бинарных операций, производимых не над числами, отметим векторное умножение векторов пространства, умножение квадратных матриц порядка п, композицию отображений множества X в себя, теоретико-множественное объединение и пересечение множеств.

Как видим, фактическое задание алгебраической операции на множестве может быть произведено различными методами. Возможно также непосредственное перечисление всех результатов операции для конечных множеств. Его удобно описать с помощью так называемой таблицы Кэли. Слева и сверху квадратной таблицы выписывают все элементы множества. На пересечении строки, соответствующей элементу а, и столбца, соответствующего элементу b, записывают результат операции над а и b. Из двух приведенных таблиц Кэли (табл. 8.1. и 8.2.) вторая — таблица для операции конъюнкции на множестве {И, Л}.

Таблица 8.1.

	X1	X2	X3	X4
X1	X1	X2	X3	X4
X2	X2	X3	X4	X1
X3	X3	X4	X1	X2
X4	X4	X1	X2	X3

Таблица 8.2.

	И	Л
И	И	Л
Л	Л	Л

Будем употреблять следующую терминологию и символику: операцию называть умножением, а результат применения операции к элементам а и b — произведением ab. Это мультипликативная терминология. Иногда естественнее и удобнее использовать аддитивную терминологию и символику: операцию называть сложением, а результат ее выполнения — суммой а +b элементов а и b.

Если для любых элементов а и b множества М справедливо равенство ab = ba, то операцию называют коммутативной. Коммутативны, например, сложение и умножение чисел, сложение матриц одного порядка и т. д. Некоммутативными операциями являются векторное произведение векторов, произведение матриц порядка п при n ≥2 и др.

Если для любых элементов а, b, с множества М справедливо равенство а(bс) = (ab)c, то операцию называют ассоциативной. Ассоциативны, например, сложение и умножение целых чисел, умножение матриц, композиция отображений, а также операции, определенные таблицами Кэли. Неассоциативной операцией является векторное умножение векторов пространства.

В ряде случаев множество М, на котором определена алгебраическая операция, обладает единичным элементом, т.е. таким элементом е, что ае = еа = а для всех а из М. Единичный элемент единственен, так как если существует еще один элемент е' с этим же свойством, то ее' = е и ее' = е', откуда е = е'. При аддитивной записи единичный элемент называется нулевым и обозначается 0.

На множестве квадратных матриц порядка n единичным элементом относительно операции умножения является единичная матрица, на множестве отображений множества X в себя единичным элементом относительно композиции отображений является тождественное отображение. Число 1 есть единичный элемент множества целых чисел относительно операции умножения, а множество четных чисел не имеет единичного элемента относительно этой операции.

Если операция ассоциативна, то можно однозначно говорить о произведении любого конечного числа элементов, взятых в определенном порядке. Пусть дана упорядоченная система из п элементов множества М: а₁, а₂,..., а_n, в которой некоторым образом расставлены скобки, указывающие на порядок выполнения операции.

Теорема. Если операция, определенная на М, ассоциативна, то результат ее последовательного применения к п элементам множества не зависит от расстановки скобок.

Доказательство проведем индукцией по числу множителей п. Для п = 3 утверждение теоремы следует из закона ассоциативности. Докажем это для п множителей, предполагая, что для меньшего числа множителей утверждение верно. В этом случае достаточно доказать, что для любых k и l, где 1 ≤ k, l ≤ n-1, (a₁...a_k)(a_k+1...a_n) = (a₁...a_l)(a_l+1...a_n), так как внутри скобок расстановка их несущественна по индуктивному предположению. Для этого покажем, что обе части равенства совпадают с произведением элементов a₁,...,a_n, взятых в следующем фиксированном порядке: (... ((a₁a₂)a₃) ... a_n-1)a_n (это произведение называется левонормированным произведением элементов a₁,..., a_n). Действительно, при k = п-1 имеем (a₁... a_n-1)a_n = (... (a₁a₂) ... a_n-1)a_n, т.е. левонормиро-ванное произведение. При k < п-1 ввиду ассоциативности получаем (а₁... a_k) (a_k+1... a_n) = (a₁... a_k) ((а_k+1 … a_n-1)a_n) = ((a₁ ...a_k)(a_k+1...a_n-1)) a_n = (...((... (a₁a₂) ...a_k)a_k+1) ...a_n-1)a_n, т.е. снова имеем левонормированное произведение. К такому же виду приводится и правая часть доказываемого равенства.

В силу теоремы при записи и вычислении произведения а_1…a_n скобки не ставят, а следят только за порядком множителей, и то лишь в случае, если операция некоммутативна. В частности, при a₁ = a₂ = ... = =a_n = а произведение aa…a обозначают символом aⁿ и называют n-й степенью элемента. Если множество М обладает единичным элементом, то полагают а° = е.

Из теоремы вытекают соотношения

a^maⁿ = a^m+n; (a^m)ⁿ = a^nm, m, nЄN.

В аддитивной символике степеням соответствуют кратные na = a + a+ ...+ а и выполняются соотношения

та + па = (т+п)а; п(та)= (пт)а, т, nЄN.

В следующих параграфах приведем краткое изложение основных понятий теории алгебраических структур (групп, колец и полей).