Решение

Допустим, что у нас получилась периодическая последовательность цифр и что длина периода (количество цифр в нем) равна T. Легко видеть, что число a_{n + 1} может быть "длиннее" числа a_n не более чем на один разряд (и, разумеется, не короче). Поскольку последовательность (a_n) — возрастающая, в ней есть числа любой длины, большей, чем длина a₁. Поэтому в ней найдётся число a_m, длина которого kT кратна периоду. Первые kT цифр числа a_{m + 1} должны совпадать с цифрами числа a_m, поэтому у a_{m + 1} есть ещё один разряд (a_{m + 1} > a_m), и в нём обязательно стоит нуль (10a_m ≥ a_{m + 1}). Но тогда первая цифра в записи a_m — нуль, что, конечно, невозможно. Заметим, что если условие a_{n + 1} ≤ 10a_n заменить чуть-чуть более слабым: a_{n + 1} ≤ 10a_n + 1 или a_{n + 1} ≤ (10 + ε)a_n. где ε — произвольное положительное число, то полученная последовательность цифр может оказаться периодической.

25. Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда оно представляется конечной или периодической десятичной дробью. Сложность: 4- Классы: 8,9,10