4. Применения размытых систем

В работах [1, 13, 20, 27, 31, 35, 38-40, 49, 52-59] рассматриваются не­которые применения теории размытых множеств и систем для нахождения

аутей решения различных задач теории управления.

3 работе [13] исследуется возможность использования аппарата тео­рии размытых множеств для описания поведения функции вблизи макси­мума в задачах определения максимума многомодальных систем.

Обычное понятие максимальной величины функции для таких педеи не является достаточно информативным. Более полезным является поня­тие максимизирующего множества, так как оно дает информацию не толь­ко о точке или точках, в которых функция принимает максимальное¹ значение, но также и о степени приближения функции к максимальному

значению в других точках на всем интервале ее изменения.

Максимизирующее множество М(1) для функции /(а;) есть размытое" множество на Х такое, что степень принадлежности х» множеству М(/) представляет собой степень, с которой /(а;о) аппроксимирует шах/(ж). Например, степень 'принадлежности р,м (а") может быть выбрана в виде *

(4.1) ^^(-^!(з——\^г \ шах/(ж) /

или для положительно определенной функции /(.с)

/н_

(4.2) ^м(ж)'

В работах [54, 35, 55] предлагается использовать методы теории раз­мытых множеств при исследовании задач принятия решений. В [54] рас­сматривается процесс принятия решений, когда размытыми могут быть. цели или ограничения. Например, ограничение может быть сформулиро­вано так: «цена, не должна существенно превышать Л^>, а цель так:' '• их должно быть вблизи некоторого заданного а'о». Размытые,цели и огра­ничения могут быть определены математически как размытые множества в пространстве альтернатив, а размытое решение может рассматриваться как пересечение заданных целей и ограничений, причем максимизации ре­шения соответствует точка в пространстве альтернатив, в которой функ­ция принадлежности размытого решения достигает максимальной ве­личины. * ' Приводятся примеры, включающие многоэтапные процессы решения,'

в которых управляемые системы являются как детерминированными, так

* Выбор ^м(ж) называется калибровкой. В [13] изучаются свойства линейной ка­либровки. ;

78

'? стохастическими, а также примеры систем с неявно определенным вре-, менем окончания процесса.

В работах [29, 30] также указывается на возможность применения ап­парата размытой логики в задачах принятия решений. Решение 5 прини­мается в случае, если истинностная функция (см. (1Л5)) удовлетворяет-условию Т(8) >Т{^), иначе Г(<5) ^0,5. Доказанная в [29] теорема по­зволяет определять нижнюю Гранину надежности принятых решений.

Значительный интерес представляет работа [I], где на основе вводи­мых авторами понятий размытой функции и размытого отображения пред­лагается новый метод построения, размытой системы управления с обрат­ной связью. Для такой системы вводятся два взаимно связанных понятиях «четкость» (йпепезз) и «наблюдение». Степень точности нашего знания' представлена «четкостью» размытого множества или размытого отображе­ния. Если наше знание улучшается, то размытое множество, представляю­щее состояние системы, или размытая функция, представляющая систему, становится «четче». Когда наше знание становится совершенно «четким»,. то размытое множество, представляющее состояние, становится одноэле­ментным (т. е. функция принадлежности становится равной 1 в одной;, точке и 0 во всех остальных), а размытая функция, представляющая си­стему, становится неразмытой.

Наблюдение представляется неким оператором наблюдения О. Так как;

наше знание состояния системы благодаря наблюдению улучшается, то. действие оператора наблюдения иа размытое множество заключается в том, что размытое множество делается более четким.

Размытая система управления с обратной связью в работе [1] пред­ставлена в виде упорядоченной шестерки

,3) 5 =<Х, У,/,(?,(?. тр.

Здесь Х =я {ж», я:2,..., Хт} — неразмытое множество, состояние же си­стемы представляет собой размытое множество р на множество X; и е Е^,., •V = {щ, иг,..., ид} — множество допустимых управлений; /— размытое-отображение {'.ХХПХХ-^Х такое, что

^4,4) , ^•(^-М^,-^¹); ,

О — оператор наблюдения — некий прибор или способ, выделяющий в ре­зультате применения операции наблюдения над состоянием системы, представленным размытым множеством р\ какое-либо его подмножества д е О ° р (операция о—операция композиции (1.11)), так что множество» всех возможных наблюдаемых состояний 0 = {у[с[ ^ О " р}; С — размытое «множество цели» на множестве X, некоторое заданное подмножество мно­жества 0', т] — стратегия управления, которая осуществляет отображение наблюдаемого состояния С[ в управление и

Размытая система управления с обратной связью работает следующим образом:

1. Начальное состояние ^?¹==^?⁽' при (=0.

2. Делается наблюдение; и состояние системы становится д°

3. Наблюдение отображается в управление ц° == г\ о д°.

4. Так как размытое отображение р./(ж", и⁰, ж⁴), характеризующее ^управляемую динамическую систему, задано, получаем функцию принад-С-дежности размытого множества р¹

(v (а;')-^(<Л"°,.с¹).

5. Состояние р' становится исходным, и шаги 2—4 повторяются при г,

увеличенном на 1.

Цель 6 называется достижимой, если существует стратегия г| такая, что ^^{^} ^ 0{1} для некоторого ( (заданного или нет).

Предполагается, что введение обратной связи в рассматриваемую мо­дель управления позволит достичь цели и при довольно неточном наблю­дении и управлении. Необходимо только, чтобы по мере приближения к цели наблюдение становилось более «четким» (иначе нельзя сказать, до­стигнута цель или нет).

В качестве примера приводится одномерная задача управления.

В ряде работ рассматриваются примеры применения аппарата теории размытых множеств при построении некоторых обучающихся систем авто­матической классификации.

В работе [53] содержится постановка задачи классификации изобра­жений, включающая также и более общий подход с позиций теории размы­тых множеств. Задача формулируется следующим образом. Пусть О — пространство изображений, А и В — два (возможно, больше) размытых мно­жества на и, а {х1, д"2,..., Хг}, а-г ей— набор изображений. Каждому Хг приписаны значения степени принадлежности ^(ж,) и Цв(ж«) размытым множествам А и В соответственно.

Набор триад {(х„ (аа^), р-в^г))} (1== 1, 2, ..., п) называется набором

:выборок или наблюдением.

Под решением задачи классификации понимается определение харак­теристических функций р-А^и р,в (или построение их оценок) по выборкам и на основании априорной информации, включающей ограничения на эти •функции. Характеристические функции Цл и, рв позволяют определить степени принадлежности размытым множествам А ц В точек, отличных от предъявленного множества изображений {а"1, х^,..., Хп}'

В большинстве практических ситуаций априорная информация о свой­ствах характеристических функпий пазмытых мттпжаптв нйггпстаточна для построения определенных Функций^ которые бт-тли бт.т «птттимялт,нт.т» в т?а-ком-то смысле. Поэтому в большинстве случаев приходится прибегать к эвристическин^методамна^жденияэтих оункпий. причем единственный спосоо суждения о «качестве» функций закдючается_в-зксДЁДДментальнои проверке." В раб^те*^риводится одинизтакихэвристических методов для ^массюрикации неразмытых множеств и указано направление его обобще­ния для размытых ситуаций.

Примеры систем автоматической классификации и управления рассмат­риваются в работах [56, 38, 58, 20]. В работе [20] приводятся система обу­чения с учителем без наблюдения выхода и система автоматического управления с обучением. Системы являются вариантами обычных хорошо известных общих схем такого рода. Предлагаемый авторами алгоритм, включенный в блок принятия решений, осуществляется при помощи слож­ного размытого автомата. Система моделируется на ЭВМ для случая клас­сификации изображений букв на два и на три класса.

В [27] на основе рассмотрения размытых симметричных и рефлексив­ных отношений (см. раздел 1) изучается классификация изображений с использованием субъективной информации. Приводится пример классифи­кации портретов по семейному сходству. Предлагаемый метод классифика­ции основан на процедуре нахождения степени Оринадлежности пути, свя­зывающего два изображения, и сводится к возведению в степень (по пра­вилам композиции) матрицы размытого бинарного отношения, полученной при помощи субъективных оценок, до стабилизации этой матрицы. Область | возможного применения такого метода — системы обучения классификации

без наблюдения. :

В работах [52, 57^ для многомодальных систем с неизвестными харак­теристиками предлагается оптимальное управление с использованием раз­мытых автоматов, в которых размытыми являются только функции пере-ч

1

адов и выходов. Как отмечалось в разделе 3, размытый автомат при за" Изданном фиксированном входе Хц переходит из состояния (^ в ^^ по ветви, раепень принадлежности которой максимальна (аналогично для выходов). |9тот автомат работает в нестационарном режиме, так что степень принад­лежности переходов и выходов меняется на каждом щаге или за несколько рдагов в зависимости от достигнутого успеха или неудачи (что можно на-Цйвать процессом обучения). Приводятся результаты моделирования на |ЭВМ системы такого рода с автономным размытым автоматом в случае, ^Когда в процессе обучения отыскивается оптимум при наличии локальных ^..максимумов.

| Следует отметить, что. размытые автоматы, рассмотренные в [52], по ^существу, совпадают с автоматами с переменной структурой.