5. Размытость и вероятность

Интуитивно чувствуется сходство понятий размытости и вероятности. |3адачи, в которых они используются, похожи или совпадают. Это те зада-|та, где встречается неопределенность, являющаяся следствием случайных Цфакторов, неточности нашего знания либо принципиальной невозможности |или ненужности получения точных решений. Сходство подчеркивается |также и тем, что интервалы изменения степени принадлежности размы-Цчому множеству ц^ [0, 1] и вероятности р^ [0, 1] совпадают. Однако Цнежду понятиями размытости и вероятности имеются и существенные раз-||личия.

| Вероятность является объективной характеристикой; выводы теории ^^вероятностей, вообще говоря, могут быть проверены на опыте.

| Степень же принадлежности определяется субъективно, хотя при этом Цестественно меньшую степень принадлежности приписывать тому событию, Цйоторое, будучи рассмотрено с вероятностных позиций, имело бы меньшую ^.вероятность появления.

I Операции, применяемые в теории размытых множеств (например, отыскание максиминов и минимаксов), имеют специальный вид и отлича-|,11)гся от операций, применяемых при вероятностном подходе. Проверкой Щже методов теории размытых множеств можно считать успешную работу Цустройств классификации, обучения, управления и т. п., созданных на ос­новании теории размытых множеств (см. об этом в разделе 2, о сходимости размытых алгоритмов). Таким образом, об эффективности применения ме-|юдов теории размытых множеств можно судить лишь тогда, когда будет построено на базе этой теории достаточное количество работающих стройств.

Известно (см., например, [45]), что теорию вероятностей можно гроить как аксиоматическую теорию, в основу которой пбложены три ак­сиомы, совпадающие с соответствующими аксиомами теории меры. В ра-оте [5] сделана теоретическая попытка обобщить для размытых множеств екоторые положения аксиоматической теории вероятностей, введя поня-ве размытого события. \

Если А — случайное событие, то в аксиоматической теории вероятность ч(А) трактуется как мера А и вычисляется при помощи выражения

э, что то же самое,

5.2) р(А)=|/л(ж)^=Д(/А),

яд

Е" — евклидово п-мерное пространство; /л (ж) — характеристическая

Автоматика и телемеханика, М 5

функция события А такая, что /л (ж) : Е" -- {0, 1}, а Е (/л) — математиче­ское ожидание функции /л (х).

Выражение (5.2) обобщается для размытых событий. Размытое собы­тие А в Е" определяется характеристической функцией (аа:д"^- [0, 1]у которая ассоциирует некоторому а: в Я" его степень принадлежности р.А(ж) множеству А. Вероятность размытого события А определяется ин­тегралом Лебега — Стильтьеса

(5.3) р(А)-|иА(ж)^=ДМ

ел

как математическое ожидание функции принадлежности р-лСс).

Приведенное определение размытого события и его вероятности обра­зуют основу, на которой в теории размытых множеств обобщаются неко­торые понятия и результаты теории вероятностей и теории информации. В [5] изучаются некоторые простые свойства размытых событий (теорети­ко-множественные и булевы операции, измеримость по Борелю, условная вероятность, вычисление моментов разных .порядков). В заключение при­водится выражение

(5.4) Я^Р(А)=-^^^А(.с^)р^1ов^»„

1_1

где Р = {р1, рц ..., рп} ~ распределение вероятностей. Это выражение позволяет обобщить понятие энтропии для размытого события.

Энтропия Н^Р(А) интуитивно может интерпретироваться как неопреде­ленность, ассоциированная с размытым событием А. В работе [61] поня­тие энтропии определяется иначе, без использования вероятностей:

(5.5) Я(^)=-/с^^(ж<)1пц(ж.).

<=>!

Этот функционал рассматривается не как мера вероятностной инфор­мации, а как некоторая внутренняя, присущая системе характеристика, которая позволяет получить меру неопределенности, относящуюся к си­туациям, описываемым размытыми множествами. Делаются предположе- :

ния о применимости этих идей к автоматической классификации. '

В работах [60, 62] изучаются вероятностные автоматы и события. Связь с теорией размытых множеств состоит лишь в том, что множество вероят­ностных событий рассматривается здесь как подмножество множества раз­мытых событий. Доказывается утверждение, что постоянное размытое со­бытие (т. е. событие, для элементов которого значение функции принад­лежности есть константа) есть вероятностное событие, представимое в

вероятностных автоматах.

В работах, [63, 64] идеи теории размытых множеств применяются для

построения нового метода группировки и численной классификации. Но-'| визна этого метода состоит в том^ что некоторые существующие методы | классификации, использующие вероятностный подход, а именно те, в ко­торых результат разбиения на классы зависит от плотности распределения ;

Р (х), обобщаются на случай, когда элемент х может принадлежать с опре-;

деленной степенью принадлежности р.8((ж) одновременно нескольким раз-] мытым классам 8ц, т. е. на случай, когда классификация является размы-| той. Преимущества размытой группировки над обычными способами осо­бенно проявляются при наличии известной «некомпактности» классифици* руемых групп, т. е. при наличии разброса отдельных точек, перешейков? между разделяемыми группами, при линейной несепарабельности групи;

и т. п. ' Классификация размытых множеств состоит в представлении функци

плотности вероятности Р (ж) заданного множества Х == {х^ ж;, .. •, х^} 82

(/л) — математиче-

виде взвешенной суммы плотностей вероятностей, составляющих это мно-

N п

жество групп: Р(ж) - V Р(8,)Р (х/8,), где р (8,) = V Р (ж.) Р (5/ж.).

«—1 *=1

Здесь Л^ — фиксированное количество групп, известное заранее, Р (а;г) — вероятность появления х^Х в соответствии с распределением Р(.х), Р(8^/Хг) —степень принадлежности элемента Хг размытому множеству 5',,.

N

При этом должны удовлетворяться условия \ Р(8,/х)=1, Р{8,/х) ^0.

]-1

Сомножители Р (х / 8,) в (5.6) определяются выражением

^-"(^ (,-1,2,...Д,

^(^а) .

Разложение должно быть таким, чтобы множество {Р(8,/ х)} (/' = 1, 2, ..., Л^) действительно соответствовало множеству групп. Для этого необходимо выполнение условия оптимальности

7({Р(5,/Ж() |/ = 1, 2, ..., Л^; ж. е X}) = тш,

где I — функционал, определенный над всеми различными размытыми группировками.

Для различных видов функционалов и ограничений в [64] строятся численные методы и вычислительные процедуры классификации, которые сравниваются между собой. Приведен значительный экспериментальный материал. Работа представляет собой один из примеров применения поня­тий и методов теории размытых множеств для построения конкретных вы­числительных процедур. I .

Настоящий обзор можно заключить следующими цитатами из работа [14], в которых Задэ высказывает свою точку зрения на область приме­нения и перспективы методов теории размытых множеств:

«Я считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать дей­ствие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются н^ тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В ре­зультате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и огра­ничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований точности и допустить результаты, которые являются несколько размытыми или неопределенны­ми» ([14],стр.2).

«В последующие годы размытые алгоритмы и стратегии управления бу­дут завоевывать, хотя, возможно, и против желания, все большее призна­ние. Они должны быть приняты и должны приобрести некоторую респек­табельность, так как обычные неразмытые алгоритмы не могут, в общем случае, справиться со сложностью и плохой определенностью больших ^си­стем. Для того чтобы создать благоприятную среду для развития размытых алгоритмов, теория управления должна меньше значения придавать мате­матической строгости и точности и больше заботиться о развитии качест­венных и приближенных решений насущных проблем реального мира. Такая теория может оказаться гораздо богаче и увлекательнее, чем теория управления в настоящее время» ([ 14], стр. 2).

Постудила в редакцию 27 ноября 1972 г.