16 Нти сер. 2 . № 10 . 1976 . Информационный анализ.

стве X, в частности, в Е^, всякий класс смежности (класс эквивалентных элементов) пространства Х по подпро­странству X' называется гиперплоскостью, параллель­ной подпространству X' (в частности, само подпростран­ство X' является гиперплоскостью, содержащей нуль, т. е. проходящей через начало координат). Гиперплос­кость Н, параллельная подпространству X',— это мно­жество, получающееся из X' параллельным переносом

(сдвигом) на какой-нибудь вектор Ох. Если в качестве х взять объект, для которого ^л(^)=е, то для ограни­ченного размытого множества А и для любого е>0 существует гиперплоскость Н, такая, что {л{х) ^.е для х, лежащих по ту сторону от Н, которая не содержит начала координат. Последнее утверждение связано с тем, что в силу ограниченности множества Ге= = {^х^ А(х)~^-е}, существует сфера нуля .радиуса е— К (в), внутри которой /а(^)^|в. Если в качестве под­пространства X' взять внутренность сферы (1п<;^(е)), а в качестве Н — точки сферы, то, очевидно, что вне сфе­ры }л(х)^.е.

Лемма. Пусть А — ограниченное размытое множество и пусть М=аирх}л(х). Тогда существует по меньшей мере одна точка Хц, на которой принимается значение М в том смысле, что любая е — окрестность точки Хц — содержит точки множества 0(е) ={х\}А.(х)'^-М—,е}.

Доказательство. Рассмотрим последовательность огра­ниченных множеств Г), Гг,..., где Тп={х\{А.(х}~^М—

——^м-] п+Г-

Тп непусто для всех конечных ч, поскольку М= =5ирж^д(х). Пусть Хп—произвольно выбранная точка в Тп (м=1, 2...) и пусть х\, Ху,...—последователь­ность точек в замкнутом ограниченном множестве Г). По теореме Больцано—Вейерштрасса эта последова­тельность имеет по меньшей/ мере одну предельную точку Хо в Г1. Следовательно, любая окрестность точки Хо будет содержать бесконечное множество точек из последовательности х^, Ху,.,, Пусть это множество

М Хп+\, Хп+г, •. •, где п.$г—. Точки этой последовательно-

С-

сти образуют для любого б множество <3(е) вида

М Гп-1, где п,^ -^ , и поэтому (?(е) ={х\}л(х) ~^М—е.}.

Можно показать, что если А и В ограничены, то их объединение и пересечение также ограничены [2].

Слабая и сильная выпуклость.

Определение |14. Размытое множество Л в простран­стве Е¹¹ слабо выпукло, если точка, лежащая посередине двух различных точек в Га, лежит вне множества Га.

Определение 15. Размытое множество А в простран­стве Е¹¹ сильно выпукло, если для любых двух различ­ных точек х\ и Хг и для любого Л в открытом интер­вале (0, 1)

/д\Кх,+(1-К)х^>тт[^(х,). /д(^)].

Понятно, что из сильной выпуклости не следует слабой выпуклости и наоборот. Можно показать, что 1) если А и В слабо (сильно) выпуклы, то их пересечение яв­ляется слабо (сильно) выпуклым [2]; 2) если Л — ог­раниченное сильно выпуклое множество, то Хо (см. лемму) единственна. Если бы М=^(хо) и М={л(х1) и х^Х1, то }л(х)>М для ж=0,5 (хо+х\), что противо­речило бы тому, что .М=8ир;с/А(л).

Определение 16. Множество всех точек ограниченно-. го размытого множества А, на которых принимается значение М, называется ядром С (Л).

Для выпуклых размытых множеств доказано свойст­во выпуклости его ядра [и].

Проекция (тень) * размытого множества. Пусть А —

размытое множество в й-мерном евклидовом простран­стве Е" с функцией вхождения {л{х) ={л(х,, Хг,.. -, хн). В целях простоты понятие проекции на гиперплоскость Н дается для случая, когда Н—координатная гипер­плоскость {Н={х\х^=0}}.

Определение 17. Проекция Л на Н={х\х\=0} яв­ляется размытым множеством 5н(Л) в ^-¹, причем

•^//(Л) = /Я^) ^¹' ^х'" " ' '^хь) ° =511р^/д(л-1, -Уа, ••-,Х1г).

Если А — выпуклое размытое множество, то его проек­ция на любую гиперплоскость является выпуклым раз­мытым множеством. Кроме того, для любой гиперпло­скости Н:

5н(Л)=5н(В)=>.Л=В [,2].

Отделимость выпуклых размытых множеств. Класси­ческая теорема отделимости обычных множеств осно­вывается на том, что Л и В выпуклы и не пересека­ются. Тогда существует разделяющая поверхность Н такая, что Л находится по одной стороне от Я, а В— по другой. Естественно потребовать, чтобы теорема от­делимости выполнялась на всех размытых множествах (не требуя их непересечения), поскольку такое условие существенно снижало бы класс размытых множеств.

Определение 18. Пусть Л и В — два ограниченных размытых множества, и пусть Н—гиперплоскость в Ё¹¹, определенная уравнением Н(х)=0. Точки, для которых й(х)>0, лежат по одну сторону от Н, а точки, для ко­торых /1(х)<0, лежат по другую сторону от Н. Пусть Кн—числовая переменная, зависящая от Н, такая, что /л(^)</(н по одной стороне от Л и ^в{х}<,К.я по другой стороне. Обозначим Мн=1п{ К.н- Число 0= =1—Мц называется степенью отделимости.

Теорема отделимости. Пусть Л и В — ограниченные выпуклые размытые множества в Е'¹ с наибольшими степенями вхождения Мл и Мв. Пусть М — максималь­ная степень пересечения Л и В. Тогда 0==1—М—сте­пень отделимости Л и В.

Иллюстрация теоремы отделимости приведена на рис. 3.

Гйперпласкость Н (точка)

Рис. 3

. Теорема отделимости выпуклых размытых множеств приобретает особую важность при распознавании обра­зов, поскольку степень отделимости множеств играет роль формальной границы между классами разбие­ния [9].