5. Статистический критерий согласия (Пирсона).

Пусть имеется - случайная величина, о законе распределения которой выдвигается некоторая гипотеза, X - множество возможных значений .

Разобьем X на m попарно непересекающихся множеств X₁,X₂, ….,X_m, таких, что

(1.7)

(1.8)

Выберем N независимых значений ₁, ₂... , _N и обозначим через количество значений .

Математическое ожидание равно Nр_j, т.е. M.

В качестве меры отклонения всех от Nр_j выбирается величина

. (1.9)

При достаточно большом N величина хорошо подчиняется закону распределения с (m-1) степенью свободы:

, (1.10)

где k_m-1(х) – плотность распределения с (m-1) степенью свободы.

С помощью формулы (10) при заданном уровне надежности (обычно =0,95) можно определить нижнюю и верхнюю границы области возможного принятия гипотезы (доверительного интервала). Для этого нужно решить соответственно следующие уравнения (решаются с помощью справочных таблиц):

(1.11)

(1.12)

где , .0

6. Экспериментальное (эмпирическое) распределение

Позволяет определить плотность (закон) распределения p(x) и статистические характеристики случайной величины на основе экспериментальных данных.

Пусть имеется выборка N независимых значений ₁, ₂... , _N случайной величины .

Гистограмма частот, являющаяся аналогом плотности распределения, строится следующим образом:

1. Весь интервал (x_min, x_max) от наименьшего значения x_min до наибольшего значения x_max полученной выборки случайной величины разбивается на m=10-20 равных промежутков длиной h: X₁, X₂, …, X_m

h=( x_max - x_min )/m

2. Для каждого промежутка определяется число значений выборки ₁, ₂... , _N , попавших в j-й промежуток.

3. Для каждого промежутка строится прямоугольник с основанием на j-м промежутке и высотой . Полученный график называется гистограммой частот или просто гистограммой. При таком построении площадь j-го прямоугольника равна .

4. «Сглаживают» гистограмму (аппроксимируют) гладкой кривой.

5. Определяют экспериментальные (эмпирические) математическое ожидание и дисперсию s² :

,

6. Проверяется статистическая гипотеза о распределении случайной величины какому-либо одному или нескольким законам распределения с параметрами: математическое ожидание и дисперсия s².

18