- •Введение
- •Глава 1. Функции и пределы § 1. Функции и их свойства
- •§ 2. Предел функции и его свойства
- •§3. Замечательные пределы
- •§ 4. Бесконечно малые величины
- •§ 5. Непрерывность функций
- •Глава II. Дифференциальное исчисление § 1. Производная. Основные правила дифференцирования функций
- •§ 2. Дифференциал функции
- •§ 3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§ 5. Правило Лопиталя
- •Глава III. Применение производных к исследованию функций и построению их графиков § 1. Исследование функции на монотонность и экстремумы
- •§ 2. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба ее графика
- •§ 3. Асимптоты
- •§ 4. Схема полного исследования функции
- •Глава IV. Неопределенный интеграл § 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Основная таблица интегралов
- •Основные свойства интеграла
- •Основная таблица интегралов
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •§ 3. Интегрирование рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование некоторых видов тригонометрических выражений
- •§ 5. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
- •Библиографический список Основные учебные и справочные издания
- •Дополнительные учебные и справочные издания
- •Оглавление
§ 4. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Роля (о корнях производной)
Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах отрезка равные значения , то внутри отрезка существует хотя бы одно значение , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Геометрическая интерпретация теоремы Роля:
На дуге графика функции, удовлетворяющей условиям теоремы Ролля, найдется точка М, в которой касательная ТК параллельна хорде АВ и оси ОХ. Таких точек может быть и несколько.
Теорема Лагранжа (о конечном приращении функции)
Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то внутри отрезка существует хотя бы одно значение , для которого:
Из теоремы следует формула конечных приращений:
т.е. приращение функции на интервале равно произведению производной в некоторой промежуточной точке интервала не приращение независимой переменой.
Теорема Коши (об отношении приращений двух функций)
Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем внутри отрезка, то найдется хотя бы одна внутренняя точка , для которой:
.
§ 5. Правило Лопиталя
Теорема 1 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида)
Пусть функции на некотором отрезке удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль при , т. е. . Тогда, если существует предел отношения производных при , то существует и предел отношения функций , причем они равны друг другу: .
Теорема имеет место и в том случае, если функции не определены при х = а, но
Если , а производные удовлетворяют условиям, налагаемым на теоремой 1, правило Лопиталя применяется повторно уже к отношению производных . Получим:
Правило Лопиталя применяется и в том случае, когда а
Правило Лопиталя остается в силе, если окажется, что .
Примеры
Теорема 2 (правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида )
Пусть функции непрерывны и дифференцируемы при всех в окрестности точки, причем ; пусть далее . Тогда, если существует предел то существует и предел , и они равны между собой:
.
Данное правило допускает повторное применение, а также сохраняет силу в случаях, когда или когда .
Примеры
.
С помощью правил Лопиталя раскрываются неопределенности которые различными преобразованиями сводятся к неопределенностям видов или .
Примеры
Глава III. Применение производных к исследованию функций и построению их графиков § 1. Исследование функции на монотонность и экстремумы
Теорема (необходимый признак монотонности)
Пусть функция на отрезке имеет производную. Тогда:
1. Если не убывает на , то на отрезке .
2. Если не возрастает на , то на отрезке .
3. Если функция = const на , то на отрезке .
Теорема (достаточный признак монотонности)
Пусть функция непрерывна и дифференцируема на отрезке . Тогда:
1. Если на отрезке , то не убывает на отрезке .
2. Если на отрезке , то не возрастает на отрезке .
3. Если на отрезке , то = const на .
Точка называется: точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки. Точка называется точкой минимума функции, если в некоторой окрестности точки . Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремальными значениями. Точки экстремумов разделяют интервалы монотонности.
Теорема (необходимый признак существования экстремума)
Если в точке функция достигает экстремума, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками I рода; стационарные точки и точки, где производная не существует, вместе называются критическими точками I рода.
Теорема (первый достаточный признак существования точки экстремума)
Пусть функция непрерывной в некоторой окрестности точки и дифференцируема в ней (за исключением, быть может, самой точки ). Если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума, если с минуса на плюс, то – точка минимума, если знак производной не меняется, то функция не имеет в точке экстреума.
Пример
Исследовать на экстремум функцию
Решение:
1. Ищем область определения:
2. Ищем
3. Ищем критические точки:
существует на всей области определения, поэтому других критических точек нет.
4. Исследуем знаки до и после критических точек:
5. Определяем экстремальные точки по смене знака и вычисляем экстремальные значения функции:
Теорема (второй достаточный признак существования экстремума)
Точка есть точка экстремума функции , если , , причем если , то – точка минимума, а если , то – точка максимума.
Пример
В предыдущем примере
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке , надо найти все экстремальные значения функции внутри отрезка и значения функции на концах отрезка. Из всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее:
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значение функции (см. предыдущие примеры) на отрезке