-
Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения
Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8.4) линейным, т.е линеаризовать его, то оно упростится – для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что точные решения линейного уравнения будут приближенными решениями для нелинейного уравнения. Оценить погрешность такого приближенного решения уравнения (8.4) можно, сравнивая приближенное решение с решением этого уравнения (8.4) на ЭВМ.
Известны различные способы линеаризации основного дифференциального уравнения (8.4). Если рассматривается плоско-радиальный приток к скважине, то как известно из теории стационарной фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая и по большей части пласта давление Р(r) мало отличается от контурного РК . На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление Р в коэффициенте (правая часть) уравнения (8.4) на постоянное давление РК (начальное давление в пласте),т.е.
.
Тогда вместо уравнения (8.4) получим уравнение
,
(8.5)
которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции Р2.
И.А.Чарный
предложил свести уравнение (8.4) к линейному
заменой переменного давления Р в
коэффициенте
на
,
где
- максимальное и минимальное давление
в газовой залежи за расчетный период
эксплуатации.
Рассмотрим конкретно задачу о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенной в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т.е. при t = 0 давление во всем пласте постоянно и равно РК. Надо найти изменение давления в пласте с течением времени – Р(r,t), если отбор газа происходит с постоянным дебитом : QАТ = const.
Для решения этой задачи используем линеаризованное уравнение (8.5), которое для плоско-радиальной фильтрации запишется следующим образом:
.
(8.6)
Уравнение (8.6) надо проинтегрировать
при начальном условии
при
(8.7)
при граничном условии в отдаленных точках
при
.
(8.8)
Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого, исходя из закона Дарси, напишем выражение для массового дебита в дифференциальной форме для плоско-радиальной фильтрации.
.
Используя
равенства
и разделив на АТ
, получим
.
(8.9)
Из этого соотношения выразим условие на стенке скважины бесконечно малого радиуса
.
(8.10)
Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (8.6) должно быть проинтегрировано при условиях (8.7), (8.8) и (8.10).
Ранее была рассмотрена аналогичная задача об отборе упругой жидкости с постоянным дебитом Q из бесконечного первоначально невозмущенного пласта; эта задача была представлена уравнением (7.25) с условиями (7.26) и (7.27).
Нетрудно
видеть аналогию рассматриваемой задачи
с задачей неустановившейся фильтрации
упругой жидкости: во все соотношения
для идеального газа давление входит в
квадрате; коэффициент пьезопроводности
жидкости
заменяется на
для газа; коэффициент
- на
.
В остальном все соотношения аналогичны.
Поэтому и решение данной задачи можно
записать сразу по аналогии с упругой
жидкостью:
,
(8.11)
или
.
(8.12)
Для
малых значений аргумента
в соответствии с формулой (7.43) можно
заменить интегральную показательную
функцию логарифмической:
,
(8.13)
или
.
(8.14)
Подчеркнем, что решения (8.11) – (8.14) являются приближенными, поскольку получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (8.6), а не точного (8.2). Формулы (8.12) и (8.14), определяющие распределение давления вокруг газовой скважины с момента t = 0 при Q = const, дают кривые, идентичные кривым при установившейся фильтрации - они очень круты вблизи скважины (рис.53).
По заданному r можно найти давление Р в любой момент времени t по формуле (8.12) или (8.14).
Рис. 53
В частности (на скважине).
.
Численное решение дифференциального уравнения (8.2) показывает, что погрешность в решении линеаризованного уравнения (8.5) составляет доли процента.