3. Плоско-радиальное вытеснение нефти водой

Рассмотрим задачу о вытеснении нефти водой в условиях плоско-радиального движения по закону Дарси (рис.59). На контуре питания радиуса R_K давление Р_К = const; на забое скважины радиуса r_С давление Р_С = const; коэффициент проницаемости k = const; толщина пласта h = const. Обозначим: R₀ и r_H - соответственно начальное и текущее положение контура нефтеносности; P_B и P_H - давление в любой точке водоносной и нефтеносной области соответственно; P(t) - давление на границе раздела.

Рис. 59

В случае установившегося плоско-радиального движения однородной жидкости распределение давления в потоке и скорость фильтрации описываются следующими уравнениями (3.25) и (3.27):

; (9.19)

. (9.20)

Если изобару, совпадающую в данный момент с контуром нефтеносности, принять за скважину, то распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области можно выразить так:

(9.21)

(9.22)

Теперь принимаем изобару, совпадающую с r_H, за контур питания, тогда P_H и V_H можно записать так:

(9.23)

(9.24)

Давление на границе раздела двух жидкостей Р найдем из условия равенства V_B=V_H (при этом r = r_H ).Получим:

откуда

(9.25)

Рассмотрим характеристики рассматриваемого плоско-радиального фильтрационного потока нефти и воды.

1. Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях находим из (9.21) и (9.23), используя (9.25). Имеем:

(9.26)

. (9.27)

Из формул (9.26) и (9.27) видно, что закон распределения давления в обеих зонах логарифмический. Если знаменатель в (9.26) и (9.27) представить в виде

,

то можно заметить, что при r_Н , уменьшающемся во времени (при стягивании контура нефтеносности), этот знаменатель также уменьшается. Тогда из (9.26) и (9.27) следует, что давление в водоносной части пласта со временем уменьшается, а в нефтеносной - растет.

2. Градиент давления в обеих частях потока найдем, продифференцировав выражения (9.26) и (9.27):

; (9.28)

. (9.29)

Из (9.28) и (9.29) видно, что градиенты давлений как в водоносной, так и в нефтеносной зонах растут во времени (т.к. знаменатель в этих формулах во времени уменьшается).

На границе раздела жидкостей ( r = r_Н) градиент давления в водоносной области меньше, чем в нефтеносной во столько раз, во сколько . Это означает, что на границе раздела жидкостей пьезометрическая линия претерпевает излом.

3. Скорости фильтрации жидкостей определим из закона Дарси:

; . (9.30)

Подставив в (9.30) значения градиентов из (9.28) и (9.29), получим:

(9.31)

Из выражений (9.31) видно, что скорости фильтрации как воды, так и нефти растут со временем (знаменатель во времени уменьшается).

4. Дебит скважины Q найдем через скорость фильтрации и площадь сечения пласта .

. (9.32)

При постоянной депрессии дебит скважины увеличивается во времени, т.е. с приближением к ней контура нефтеносности. При формула (9.32) переходит в формулу Дюпюи.

5. Закон движения границы раздела жидкостей найдем из соотношения

,

откуда

.

Интегрируя последнее выражение в пределах от 0 до t и от до, получим:

(9.33)

Время вытеснения всей нефти водой Т найдем, подставив в (9.33) . В результате получим (пренебрегая по сравнению ):

. (9.34)