6.7. Подсистемы.

Всякую часть системы, которая сама является системой относительно тех же законов, называют подсистемой. В частности, всякая подгруппа должна содержать нейтральный элемент группы. Подкольцо образует подгруппу аддитивной груп­пы кольца и замкнуто относительно мультипликативного закона.

Подкольцо I абелева кольца K называется идеалом (в этом коль­це), если I есть аддитивная подгруппа кольца (композиция любых элементов а и b из I относительно первого закона также принадле­жит I, т.е. и , и в результате применения к эле­менту из I к любому элементу из К второго закона получаем элемент из I (т. е. для любых и , имеет место ). На­пример, множество четных чисел есть идеал в кольце целых чисел, рассматриваемом как аддитивная группа, а вторым законом явля­ется операция умножение (произведение четного числа на любое целое число дает четное число).

6.8. Делители нуля.

Если некоторой паре элементов а и b из кольца, которые отличны от нейтрального элемента первого закона, второй закон ставит в соответствие этот нейтральный элемент, то говорят, что элементы а и b есть делители нуля ( при и ). Например, , т.е. числа 3 и 2 - делители нуля в кольце вычетов no модулю 6. В кольце квадратных матриц второго порядка делителя нуля - это ненулевые матрицы, произ­ведение которых равно нулевой матрице, например

Кольцо без делителей нуля называется кольцом целостности. В таких кольцах справедлив закон сокращения: из ах = ау или ха = уа следует х = у. Область целостности - это коммутативное кольцо с нейтральным элементом относительно второго закона (единицей) и без делителей нуля (например, целые числа и многочлены).