Приложение дифференциального исчисления к исследованию функции
Пусть дана функция одной переменной .
Требуется исследовать ее методами дифференциального исчисления и построить ее график.
Для решения этой задачи рекомендуется следующая схема:
-
Найти область определения функции.
-
Исследовать функцию на четность и периодичность.
Указать симметрию графика функции относительно оси ординат, либо начала координат, если она имеет место.
-
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции (если они имеются), указать их характер, исследовать поведение функции вблизи точек разрыва.
-
Найти асимптоты графика функции (если они имеются).
-
Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если они имеются), указать интервалы знакопостоянства функции.
-
Найти точки экстремума, экстремумы функции (если они имеются), указать интервалы монотонности.
-
Найти точки перегиба графика функции (если они имеются), указать интервалы выпуклости и вогнутости.
-
Найти несколько дополнительных точек (если это необходимо) и построить график функции, пользуясь результатами проведенного исследования.
Определение. Интервалы, в которых функция только возрастает или только убывает, называются интервалами монотонности функции.
Отметим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций.
Теорема 6.8 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для любого .
Теорема 6.9 (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и для любого , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .
Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует -окрестность точки такая, что для всех этой окрестности выполняется неравенство: .
Значение называют максимумом (минимумом) функции.
Определение. Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции.
Экстремумы функции носят локальный характер – это наибольшее или наименьшее значения функции по сравнению с близлежащими ее значениями (рисунок 5 и рисунок 6)
Рисунок 5 Рисунок 6
Теорема 6.10 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .
Замечание. 1) Если , то это не значит, что – точка экстремума. 2) Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.
Например, непрерывная функция в точке не имеет производной, но точка – точка минимума этой.
Определение. Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Если производная в какой-либо точке равна нулю или не существует, то это не значит, что в ней функция будет иметь экстремум. В этом можно убедиться на следующем примере.
Например, для функции при производная не существует: . Экстремума нет (рисунок 7).
Экстремальные точки относятся к критическим, но не исчерпывают их, а являются только частью критических точек. Поэтому по необходимому признаку нельзя установить наличие экстремума функции в данной точке.
Теорема 6.11 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то – точка минимума.
Итак, чтобы найти экстремальные точки функции одного переменного необходимо:
-
найти ее первую производную;
-
определить критические точки, т.е. найти значения аргумента, где первая производная равна нулю или не существует;
-
исследовать их на экстремум с помощью достаточного признака.
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.
Теорема 6.12 Если в точке первая производная функции равна нулю , а вторая производная в точке существует и отлична от нуля , то при в точке функция имеет максимум и минимум при .
Пример Найти экстремумы функции .
Первая производная:
.
Критические точки:
.
Вторая производная в произвольной точке:
.
Ее значение в критических точках:
.
При функция имеет максимум, при функция имеет минимум.
Замечание. График дифференцируемой на функции не имеет изломов и заострений.
О пределение. График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале , если дуга кривой на этом интервале расположена ниже касательной, проведенной к графику функции в любой точке (рисунок 8), в противном случае график функции называется вогнутым на интервале (рисунок 9)
Определение. Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.
Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью теоремы:
Теорема 6.13 Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же для любого – график выпуклый вниз.
Точки перегиба графика функции находят с помощью следующей теоремы:
Теорема 6.14 (достаточное условие существование точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.
Например Функция при имеет точку перегиба (рисунок 10),
Рисунок 10 Рисунок 11
где вторая производная равна : .
Обратное утверждение неверно, т.е. если в точке вторая производная равна нулю или не существует, то это не значит, что в данной точке график функции будет иметь перегиб.
Например, для функции при вторая производная обращается в нуль: , . Однако здесь нет точки перегиба (см. рисунок 11).