![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 2. Введение в анализ
- •§ 1. Некоторые свойства множества действительных чисел
- •§ 2. Предел последовательности
- •§ 3. Предел функции
- •§ 4. Бесконечно малые и их свойства
- •§ 5. Основные теоремы о пределах
- •§ 6. Замечательные пределы
- •§ 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
- •§ 8. Свойства непрерывных функций
- •§ 9. Сравнение функций. Асимптотические равенства
§ 5. Основные теоремы о пределах
Лемма.
Для того, чтобы число
было пределом функции
в точке
=
,
необходимо и достаточно, чтобы разность
–
была бесконечно малой в этой точке.
Доказательство.
Обозначим разность
–
через
,
т.е.
–
=
.
Если
–
предел функции
,
то |
–
|
=
|
|
<
O (
,
).
Но это означает, что
является бесконечно малой в точке
=
.
Необходимость доказана. Если
– бесконечно
малая, то
||
=
|
–
|
<
O (
,
).
Последняя запись означает, что
является пределом функции
в точке
=
.
Достаточность доказана.
Теорема 1.
Пусть функции
и
определены в некоторой
-окрестности
точки
=
за исключением, быть может, самой точки
=
.
Если существуют пределы функций
и
в точке
=
,
то существуют и следующие пределы:
-
(
+
) =
+
,
-
(
) =
,
-
=
, если
0.
Доказательство.
Пусть
=
,
=
.
Тогда согласно лемме
=
+
,
=
+
. (1)
Учитывая (1), запишем
=
=
+
+
=
+
,
или
=
+
(2),
где
=
–
бесконечно малая (согласно теоремам
1–3 предыдущего параграфа).
Равенство (2) согласно лемме означает, что
=
или
=
.
Таким образом, третье утверждение
теоремы доказано. Первое и второе
утверждения доказываются аналогично.
Доказать их самостоятельно.
Из второго
утверждения теоремы вытекает следующее
следствие:
если
=
C
=
const,
то
(C
)
=
=
C,
т.е. постоянную можно выносить за знак
предела.
Теорема 1 значительно облегчает нахождение пределов.
Пример.
Найти
.
Решение. Используя теорему 1, запишем
=
=
=
=
= 1.
Теорема 2
(о двух милиционерах). Пусть функции
,
,
определены в некоторой
-окрестности
точки
=
за исключением, быть может, самой точки
=
.
Если
O
(
,
)
и
=
=
=
,
то
=
.
Доказательство.
Согласно лемме
=
+
,
=
=
+
,
где
и
–
бесконечно
малые в точке
=
,
т.е. |
|
<
O (
,
)
и |
|
<
O (
,
).
Данное в условии теоремы неравенство
+
+
(3)
будет, очевидно,
выполняться в наименьшей из трех
окрестностей точки
=
,
т.е.
O
(
,
),
= min(
,
,
).
Перепишем неравенство (3) так:
–
<
–
<
O
(
,
),
или
|–
|
<
O
(
,
).
Последнее неравенство
означает, что
=
.
Теорема доказана.
Теорема 3 (правило
замены переменной). Если существует
предел функции
в точке
и существует предел функции
в точке
,
причем
=
,
то
=
.
(Без доказательства).
§ 6. Замечательные пределы
Рассмотрим функцию
=
.
Она не определена в точке
= 0,
тем не менее предел её в этой точке
существует и равен единице. Докажем
это. Из чертежа при
0 <
<
ясно, что
<
<
(1)
где
и
– площади треугольников ОМВ и ОСА, а
– площадь кругового сектора. Радиус
окружности будем считать равным единице.
Тогда, выражая площади через угол
,
неравенство (1) перепишем так:
<
<
, или
<
<
<
<
. (2)
В неравенстве (2)
все функции являются четными, поэтому
оно верно и для отрицательных
,
т.е. при
<
<
,
0.
Устремляя
к нулю и пользуясь теоремой о двух
милиционерах, получим
=
1. (3)
Формулу (3) называют первым замечательным пределом.
Прежде, чем перейти ко второму замечательному пределу, приведем формулу бинома Ньютона
=
, (4)
где
=
1,
=
,
N,
=
123...
.
Формулу (4) можно доказать методом математической индукции. Мы её докажем позже другим методом.
Рассмотрим
последовательность
=
.
Используя формулу бинома Ньютона,
получим
= 1 +
+
+
+ ... +
+
= 1 + 1 +
+
++...+
...
. (5)
Из (5) видно, что
последовательность {}
монотонно возрастающая, т.к. при замене
n на
n + 1 каждое
слагаемое в (5) возрастает и добавляется
еще одно положительное слагаемое.
Покажем теперь, что эта последовательность ограниченна сверху. Действительно,
< 1 + 1
+
+
+ ... +
1 + 1 +
+
+...+
=
= 1 +
= 1 + 2 –
3,
n
N. (6)
(Сначала мы отбросили
скобки меньшие единицы, и результат
возрос. Затем учли, что
и воспользовались формулой суммы членов
убывающей геометрической прогрессии
со знаменателем q
=
).
Итак,
последовательность {}
монотонно возрастает и ограниченна
сверху, следовательно,
имеет предел (см. Теорему 2 §2).
Этот предел называют числом е.
= е. (7)
Число е является иррациональным, е = 2,718... .
Рассмотрим теперь
функцию
=
и докажем, что она имеет предел при
+
равный е.
Для любого положительного действительного
числа
имеет место
неравенство n
< n
+
1.
Для обратных величин этого неравенства
получим
<
1 +
< 1 +
1 +
.
Если левую часть последнего неравенства возвести в степень n, среднюю – в степень x, а правую – в степень n + 1 , то неравенство только усилится, т.е.
<
. (8)
Легко убедиться,
что
=
e,
=
e.
Поэтому из (8) по теореме о двух милиционерах следует, что
=
e. (9)
Покажем теперь,
что
=
e.
Действительно,
=
=
=
=
= e.
Последняя формула и формула (9) называются вторым замечательным пределом.
Можно доказать, что
-
= e, 4)
=
,
-
=
, 5)
= 1,
-
= 1, 6)
=
.