Контрольная работа № 3

Контрольная работа № 3 состоит из пяти задач. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.

Образец выполнения задания № 11

Исследовать функцию и начертить ее график.

Решение. 1. Функция определена и непрерывна на всей оси за исключением точек и , в которых она имеет бесконечный разрыв.

2. Функция нечетна, так как . Ее график симметричен относительно начала координат.

Это позволяет ограничиться исследованием графика данной функции только для значений . Остальную часть графика функции мы построим, пользуясь его симметрией.

3. При , т.е. график функции проходит через начало координат. Интервалы оси , в которых функция сохраняет постоянный знак, таковы:

(здесь символическая; она указывает на знаки числителя и знаменателя рассматриваемой дроби).

4. Вертикальной асимптотой графика функции служит прямая , так как при .

Для того чтобы выяснить, имеет ли график функции невертикальные асимптоты, вспомним, что коэффициенты и уравнения асимптоты находятся из соотношений

и .

Применим их к исследуемой функции:

Итак, Далее Следовательно, .

Таким образом, заключаем, что график исследуемой функции имеет асимптоту с уравнением или . Она (асимптота) проходит, как видим, через начало координат и наклонена к оси под углом в .

Для того чтобы судить о взаимоположении графика и асимптоты относительно друг друга, составляем ; в нашем Отсюда и определяем знак : мы видим, что при и либо при и .

Решение этих систем показывает, что при . Значит, для таких точек график будет лежать над асимптотой.

Аналогичные вычисления покажут, что при . Следовательно, для этих значений график расположен снизу от асимптоты.

5. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума. Для этого вычисляем первую производную от данной функции:

.

Найдем стационарные точки. Для этого достаточно приравнять к нулю числитель выражения для производной. Решая уравнение , находим , , . Производная может менять знак при прохождении аргумента через эти точки и точки разрыва функции и , в которых производная не существует.

Определим знак производной в интервалах между указанными точками. Так как и , то знак производной определяется знаком разности .

При имеем ; следовательно, функция возрастает на этом интервале.

При имеем ; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Отсюда видно, что в точке функция имеет максимум (переход от возрастания к убыванию).

Определим ординату точки экстремума .

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную . Мы видим, что только при . Вторая производная может изменять знак в этой точке и в точке разрыва функции . Определим знак второй производной в интервалах между указанными точками.

При имеем ; следовательно, график функции вогнут.

При имеем ; следовательно, график функции выпуклый. Мы видим, что, проходя через точку , вторая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, - абсцисса точки перегиба. Так как при , то касательная к графику в точке перегиба параллельна оси абсцисс.

7. Все результаты исследования мы используем для построения графика данной функции (рис.6). Вычерчивание графика следует начинать с нанесения на плоскость его асимптот, затем его точек, отвечающих точкам экстремума данной функции, и точек перегиба. Знание интервалов возрастания и убывания функции, а также интервалов выпуклости и вогнутости ее графика, помогут нам произвести вычерчивание графика осмысленно и точно.

Образец выполнения задания № 12

Дана функция . Найдите ее градиент в точке по направлению линии : .

Решение. Градиент функции в произвольной точке вычисляется по формуле (1).

Рис. 7

Найдем его.

Найдем эти значения в точке .

Отсюда получаем градиент в точке А по формуле (1).

Производная функции в точке А по направлению вектора вычисляется по формуле (2).

В данной задаче направлен по касательной к линии в точке А (это и означает, что мы ищем производную по направлению линии , см. рис. 7).

В общем случае, когда имеет уравнение , координаты касательного вектора в произвольной точке вычисляются по формуле

(знак соответствует тому, что в точке А можно нарисовать два противоположно – направленных касательных вектора). В нашей задаче : , поэтому

,

, .

В точке А эти значения получаются такими .

Отсюда .

Давайте укоротим этот вектор в 12 раз; координаты остаются целыми , но дальнейшие вычисления упростятся. По формуле (2) получаем

.

Если мы хотим найти производную в сторону возрастания координаты х, то должно быть . В нашей задаче это получится, если у взять знак +, так как тогда , Выбрав таким образом верхний знак, получим .

Образец выполнения задания № 13

Алгоритм исследования функции на экстремум.

1) Проверить необходимое условие экстремума:

1. Найти частные производные первого порядка , .

2. Решив систему уравнений , найти точки возможного экстремума.

2) Проверить достаточные условия экстремума.

1. Найти частные производные второго порядка , , .

2. Составить матрицу , где , , ,

и найти .

3. Вычислить в точках возможного экстремума. Если , то в данной точке функция имеет экстремум, а именно – максимум при (или ) и минимум при (или ); если , то в данной точке экстремума нет; если , то требуется дальнейшее исследование.

Образец выполнения задания № 14

Найти частные производные второго порядка и дифференциал функции .

Решение: Сначала находим частные производные первого порядка , . Затем вычисляем частные производные от частных производных первого порядка.

, ,

, .