![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение в физику белка
- •Алексей Витальевич Финкельштейн
- •Предисловие
- •Лекция 1
- •Элементарные взаимодействия в белках и вокруг Лекция 2
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •Лекция 6
- •Лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •Лекция 10
- •Лекция 11
- •Лекция 12
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Лекция 15
- •Лекция 16
- •Лекция 17
- •Лекция 18
- •Лекция 19
- •Лекция 20
- •Контрольные Вопросы
Лекция 8
Теперь можно было бы перейти к рассказу об образовании и распаде вторичной структуры. Однако прежде я хочу поговорить об основах статистической физики и термодинамики "вообще", т.к. без этого трудно рассказывать о и стабильности вторичной структуры, и о стабильности белков, и о кооперативных переходах в полипептидах и белках, и о кинетике этих переходов. Термодинамика дает представление о типах возможных кооперативных переходов в системах, состоящих из очень большого числа частиц. Статистическая физика позволяет указать, когда и какие переходы произойдут в рассматриваемой системе и описать детали этих переходов, исходя из свойств рассматриваемых частиц и взаимодействий между ними.
Прежде всего мы рассмотрим основные понятия статистической физики и термодинамики — энтропию, температуру, свободную энергию и статистическую сумму.
Итак, системы с большим числом степеней свободы (т.е. состоящие из большого числа молекул — или даже из одной большой и гибкой молекулы) описываются при помощи статистической физики. "Статистической" — ибо число конфигураций таких больших систем колоссально. Только один пример: если каждое из N звеньев цепи может находиться всего в двух возможных конфигурациях (например: "спиральном" и "вытянутом"), то вся N-звенная цепь имеет 2N возможных конфигураций. То есть "нормальная" для белка цепь из 100 звеньев может иметь, по крайней мере, 2100, или около 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 конфигураций. Это — очень много. А ведь на опыте в пробирке находятся миллиарды таких цепей, — не говоря о растворителе! И если бы мы захотели инвентаризовать все конфигурации этих цепей, — мы бы пропали навсегда. Но нас, конечно, будут интересовать более простые и разумные вещи, например, — средняя (т.е. статистически усредненная) спиральность цепей и то, как эта спиральность меняется с нагреванием. А замечательным свойством статистического, т.е. пренебрегающего всеми несущественными подробностям усреднения является кардинальное упрощение ситуации.
Важнейшую роль в статистическом усреднении играет энтропия. Она говорит, сколько конфигураций системы (или, как говорят, сколько ее микроскопических состояний) соответствует наблюдаемому нами, т.е. макроскопическому (усредненному длительностью нашего наблюдения и большим числом одновременно наблюдаемых молекул) состоянию изучаемой системы. Мы уже говорили на эту тему, — но тогда мы рассматривали, по существу, только один частный случай: тогда число "микроскопических состояний" определялось объемом, в который была заключена молекула, а ее энтропия была пропорциональна логарифму этого объема (причем нахождение в данном объеме — например, в данной комнате — и было "макроскопическим состоянием" молекулы). Здесь уместно ответить на естественный вопрос: почему физики предпочитают рассматривать логарифм числа микросостояний, а не само это число? Дело в том, что, если рассматривать много отдельных систем (например, — отдельных молекул), то мы увидим, что их объемы, энергии, числа степеней свободы при этом складываются, а количества возможных состояний — перемножаются. Это различие неудобно, оно сделало бы громоздким все расчеты. Но вот логарифмы чисел возможных состояний складываются при перемножении этих чисел [вы помните, что ln(AB)=ln(A)+ln(B)], — складываются, как энергии или объемы. Это однотипность удобна при решении задач, и к тому же операция сложения позволяет легко воспользоваться всей мощью дифференциального исчисления.
Теперь — температура. Она тесно связана с энтропией: нет большого числа состояний, нет энтропии — нет и температуры. Для выяснения связи — рассмотрим замкнутую (т.е. не обменивающуюся энергией с окружением) систему. Пусть ее полная энергия равна Е, и пусть эта система находится в равновесии, т.е. все ее микросостояния, имеющие энергию Е, равновероятны (а имеющие другую энергию — имеют нулевую вероятность).
Выделим теперь в этой системе "наблюдаемую малую часть" (например, отдельную молекулу в газе, или макромолекулу с окружающей ее жидкостью). Вся остальная система тогда может рассматриваться как термостат, в который погружена наша "малая часть".
-
Замкнутая система, E=const
Разобьем все микроскопические состояния системы на классы, различающиеся состоянием нашей "малой части". Чем больше микроскопических состояний всей системы в данном классе, — тем больше вероятность его (этого класса) наблюдения, т.е. тем больше вероятность наблюдения данного состояния нашей "малой части". Пусть наша "малая часть" фиксирована в каком-то микроскопическом состоянии (например, пусть наблюдаемая молекула в газе имеет заданное положение в пространстве и заданную скорость). Пусть она обладает при этом энергией . Поскольку вся система в целом замкнута, то полная энергия всей системы сохраняется (закон!), и энергия термостата равна E-. Пусть этой энергии соответствует Mtherm(E-) возможных микросостояний термостата. Тогда вероятность наблюдения данного состояния нашей "малой части" просто пропорциональна Mtherm(E-). [Замечание. Мы здесь неявно предположили, что конкретное микросостояние нашей системы не влияет на микросостояния термостата. Строго говоря, это не вполне верно (точнее: это верно только для "термостата", состоящего из разреженного идеального газа), — но учет явлений на границе "нашей системы" и термостата только затемнил бы все дальнейшее изложение. Для совмещения строгости и наглядности — можно представить себе, что наша "наблюдаемая часть" заключена в фиксированный и непроницаемый для молекул термостата объем.] Если число возможных состояний термостата равно Mtherm(E-), то логарифм этого числа, по определению, пропорционален энтропии термостата:
-
Stherm(Е-) = ln[Mtherm(E-)] ;
(8.1)
коэффициент здесь вводится только для того, чтобы энтропия, как обычно, измерялась бы в единицах кал/oK; как мы увидим позже, он окажется просто константой Больцмана. Энергия "малой части" тоже должна быть относительно мала. Поэтому можно воспользоваться обычным дифференциальным разложением величины Stherm(E-) по малому параметру [вы, конечно, помните: f(xo+dx) = f(xo) + (df/dx)|xodx + 1/2(d2f/dx2)|xo(dx)2 + ... = f(xo) + (df/dx)|xodx при малом dx, причем (df/dx)|xo означает, что производная df/dx берется в точке xo]. Итак,
-
Stherm(E-) = Stherm(E) — (dStherm/dE)|E. .
(8.2)
[Примечание. Так как и S, и Е пропорциональны числу частиц, то dStherm/dE от числа частиц в термостате не зависит, в то время как d2Stherm/dE2 обратно пропорциональна этому числу, т.е. d2Stherm/dE2 0 в очень большом термостате; это и позволяет нам пренебречь членами порядка 2, — а также 3 и т.д. — в формуле 8.2.] Значит, число возможных микросостояний термостата зависит от энергии нашей "малой части" как
-
Mtherm(E-) = exp[Stherm(E-)/] = exp[Stherm(E)/] xexp[- . {(dStherm/dE)|E/}] .
(8.3)
При этом ни общий множитель exp[Stherm(E)/] = М(Е), ни число (dStherm/dE)|E не зависит ни от , ни от конкретного микросостояния нашей "малой части" вообще. Так как число микросостояний должно расти с энергией (чем больше энергия, — тем большим числом способов ее можно разделить), то формула 8.3 означает просто следующее: чем больше энергии отобрала у термостата наша "малая часть", тем меньше энергии осталось у него, — и тем меньшим числом способов ее можно разделить. При этом падение числа возможных микросостояний термостата (числа способов раздела его энергии) экспоненциально зависит от энергии, содержащейся в нашей "малой части". Резюмируем. Вероятность наблюдения заданного микросостояния нашей "малой части" (молекулы и т.п.) пропорциональна exp[-.{(dStherm/dE)|E/}], где — энергия этой "малой части", а величина (dStherm/dE)|E/ зависит не от "малой части", а только от окружающей ее среды. Но, по формуле Больцмана, вероятность пребывания молекулы в заданном состоянии с энергией пропорциональна exp(-/kВT) [где T — температура, а kВ — константа Больцмана]! Сравнивая тождественные выражения exp[-.{(dStherm /dE)|E/}] и exp(-/BT), — видим, что
-
(dStherm/dE)|E = 1/Т ,
(8.4)
а "" в формулах 8.1 и 8.3 — это та же константа Больцмана (kB), — если, как обычно, энергия измеряется в джоулях (или в калориях), температура — в оК, а энтропия — в Дж/оК (или в кал/оК).
Формулы 8.1 и 8.4, определяющие температуру как величину, обратную скорости изменения энтропии S (или логарифма числа микросостояний) с энергией Е системы, — основные формулы статистической физики и термодинамики. Они показывают, в частности, что ln[M(E+kВT)] = S(E+kВT)/k В = [S(E) + (kВТ)(1/T)]/k В = ln[M(E)]+1, — то есть при увеличении энергии на kВT число микросостояний растет в "e" (=2.72) раз, т.е. примерно втрое, — независимо от размеров системы, действующих в ней сил и т.д. Они означают также, что, зная число микросостояний любой большой системы ("термостата") при разных ее энергиях (или, как говорят, "плотность энергетического спектра" системы), — а точнее, зная зависимость логарифма плотности энергетического спектра системы от энергии, — мы можем найти температуру, соответствующую каждой энергии этой системы. Соответствующий график показан на Рис.8-1.
Рис.8-1. Определение температуры большой системы. Зависимость энтропии S этой системы от ее энергии E показана жирной кривой. Наклон этой кривой, dS/dE, определяет температуру T, соответствующую данной энергии E. М(E) — число микросостояний с заданной энергией Е, т.е. плотность спектра энергий состояний системы.
Надо только, чтобы микросостояний было очень много — производную dS/dE можно, естественно, брать только тогда, когда в малом (по сравнению с kBT) интервале энергий находится много микросостояний системы. Именно поэтому температура появляется только в науках, рассматривающих огромное число возможных микросостояний.
Продолжим рассмотрение системы, заключенной в фиксированный и непроницаемый для молекул термостата объем (через стенки которого она, однако, может обмениваться энергией с этим термостатом, температура которого равна Т). Формулы 8.1 и 8.3 показывают, что вероятность пребывания нашей системы в заданном микросостоянии i с энергией i при температуре Т есть
-
wi(Т) = exp(-i/kBT) / Z(Т),
(8.5)
где
-
Z(Т) = j exp(-j/kBT) —
(8.6)
это нормировочный коэффициент, учитывающий, что сумма вероятностей всех состояний, j wj, должна быть равна 1 (сумма j здесь и выше берется по всем возможным микросостояниям j рассматриваемой "малой системы").
Величина Z называется статистической суммой для рассматриваемой системы. Зная ее, можно вычислить по формуле 8.5 вероятность каждого из микросостояний этой системы при заданной температуре, — и, далее, ее среднюю энергию при этой температуре
-
E(Т) = jwj.j
(8.7)
и ее энтропию
-
S(Т) = — kBjwj.ln(wj) .
(8.8)
Обратите внимание, что формула 8.8 усредняет ln(wj) по всем сосояниям системы, j, с учетом их (состояний) вероятностей wj. Она есть прямое обобщение давно знакомого нам (см. формулу 8.1) определения энтропии S = kB.ln[M(Е)] на случай, когда все состояния системы имеют самые разные вероятности, — а не только две, следовавшие тогда из закона сохранения энергии: wj = 1/M(E) при Ej=Е и wj=0 при Ej Е.
Статистическая сумма играет очень важную роль в статистической физике, так как величина Z(Т) позволяет прямо вычислить свободную энергию системы, находящейся в фиксированном объеме
-
F(T) = E(T) - TS(T) = j wj.{j + kBT.ln(wj)} = j wj.{j + kBT.(-j/kBT - ln[Z(T)]} = -kBT.ln[Z(T)]
(8.9)
(в предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой 8.5). Затем можно прямо найти энтропию системы: S(T) = —dF/dT (мы с этой формулой уже встречались, но проверьте ее самостоятельно, исходя из определений, даваемых формулами 8.9, 8.6, 8.5 и 8.8), а затем — и ее энергию E(T) F(T) + TS(T) = F(T) - T(dF/dT).
Существенные, но второстепенные замечания.
1)
Внутренняя температура "малой системы"
Tin
равна температуре термостата Т. Это
следует из того, что, согласно приведенным
выше определениям и уравнениям, Tin
dE(T)/dS(T) = d[F(T)-T(dF/dT)]/d(-dF/dT) =
[dF/dT-T(d2F/dT2)-dF/dT]dT/
(— d2F/dT2)dT
= T.
2) Полная энергия складывается из
кинетической и потенциальной. Первая
зависит только от скоростей частиц, а
вторая — только от их места в
пространстве, но не от скоростей.
"Микросостояние" каждой частицы
задается ее координатой в пространстве
и ее скоростью. В классической (не
квантовой) механике сочетание скоростей
и координат может быть любым (и, как мы
знаем, квантовое соотношение Гайзенберга,
vx~/m,
— при комнатной температуре —
ограничивает сочетание скоростей и
координат только у очень легких частиц
— электронов). Это значит, что
вероятности координат и скоростей можно
"расцепить", т.е. w(кинет+
коорд)
~ exp(-кинет/k
BT)
x
exp(-коорд/k
BT).
Продолжая несложные вычисления (предлагаю
их сделать самим!), легко увидеть, что
свободные энергии, энергии и энтропии
тоже можно "расцепить" на кинетические
и координатные части, т.е. F = Fкинет.
+ Fкоорд.
и т.д. Важно, что кинетические части не
зависят
от конфигурации системы (фактически,
они дают только постоянный вклад в
теплоемкость) — и их можно
отбросить при изучении конформационных
превращений. Поэтому в дальнейшем мы
будем говорить только о конфигурационных
(или конформационных) энергетических
спектрах, энергиях, энтропиях и т.д.
3) Выше мы суммировали по микросостояниям
— но в рамках классической механики
мы можем с тем же успехом интегрировать
по координатам и скоростям, задающим
микросостояние каждой частицы.
4) Равновесная температура может быть
только
положительной.
Иначе интегрирование вероятностей по
скоростям, т.е.
ехр(-mv2/2kT)dv,
обращается в бесконечность на больших
скоростях — и система "взрывается".
Поэтому стабильное состояние никак не
может наблюдаться в тех областях
конформационного энергетического
спектра, где его плотность (и, значит,
энтропия системы) падает с ростом ее
энергии: этим областям соответствует
Т<0 (см. формулы 8.4 и 8.1 и Рис.8-2а).
5) Величина kBT
измеряется в единицах типа "энергия
на частицу" или "энергия на моль
(=6.02x1023)
частиц". Если бы люди с самого начала
выражали бы температуру в энергетических
единицах, константа Больцмана "kB"
не потребовалась бы вообще. Однако
история сложилась так, что сначала ввели
температурную единицу — "градус"
— а потом уже поняли, что "градус"
можно всегда пересчитать, конвертировать
в "энергию в расчете на частицу":
для этого достаточно умножить его
(градус) на некоторую константу —
"константу Больцмана". Соответственно,
размерность kB
— "энергия_на_частицу/градус".
Величина kB
зависит о того, в чем выражается энергия
— то ли в "джоуль_на_частицу",
то ли в "кал_на_моль частиц". Согласно
измерению энергетической величины
градуса, kB
= 1.38x10-23
(джоуль/частицу)/градус. Однако kB
можно выразить и по-иному - в расчете не
на штуку, а на моль частиц: 1.38x10-23
(джоуль/частицу)/градус = 1.38x10-23
(джоуль
x [6.02x1023]/[6.02x1023
частиц])/градус
= [1.38
x 10-23
x
6.02x1023]
(джоуль/моль_частиц)/градус = 8.31
(Дж/моль)/градус = 1.99 (кал/моль)/градус.
Последнюю величину — 1.99 (кал/моль)/оК
— традиционно именуют "газовой
постоянной" R.
6) Удельная энтропия часто выражается
в энтропийных единицах, "э.ед":
э.ед. = (кал/моль)/оК
kB/2.
Стало быть, энтропии в 1 э.ед. соответствует
е1/2
1.65 состояний системы в расчете на
частицу.
Рис.8-2. Участки графика S(E), которым не может соответствовать никакое стабильное состояние системы. (а) Участки, где энтропия S(E) падает с ростом энергии Е: здесь Т = 1/(dS/dE) < 0. (б) "Вогнутый" участок зависимости S от E: здесь в точке касания (где dS/dE=1/T1) свободная энергия F=E-TS не меньше, а больше, чем на соседних с ней участках кривой S(E); ср. с Рис.8-3.
Теперь, наконец, мы рассмотрим конформационные превращения. Именно для их грамотного рассмотрения мы и повторяли азы статистической физики и термодинамики.
Конформационные превращения бывают постепенные ("континуальные") и резкие ("фазовые"). Попробуем разобраться в их различии, используя графики плотности энергетических состояний — вроде тех, что представлены на Рис.8-1. Для этого прежде всего надо научиться находить на графике стабильное состояние — или состояния — нашей системы при заданной температуре среды.
Пусть нам задано число M(E) состояний нашей системы ("макромолекулы") при каждой ее энергии Е, а также температура Т1 окружающей среды ("термостата"). Как, зная график энтропии S(E) = kB ln[M(E)] и Т1, найти на графике точку, соответствующую стабильному состоянию нашей системы? Температура Т1 показывает, какой наклон dS/dE должен быть в той точке графика, которая нас интересует: здесь dS/dE = 1/T1 — ведь температура у нашей макромолекулы та же, что и у среды. Но, вообще говоря, таких точек — точек, где график имеет наклон 1/T1 — может быть несколько (см. ниже, Рис.8-5). Какая из них отвечает стабильному состоянию? Рассмотрим касательную к графику в точке Е1, где dS/dE|Е1 = 1/T1. Уравнение такой касательной таково: S-S(E1) = (E-E1)/T1, или: E-T1S = E1-T1S(E1). Величина F1 = E1-T1S(E1) — это просто свободная энергия при температуре T1. Вдоль касательной, как мы видим, величина (E-T1S) неизменна. Всюду слева от касательной величина E- T1S ниже, а всюду справа — выше, чем на касательной (Рис.8-3).
Рис.8-3. Графическое определение свободной энергии. Зависимость энтропии S от энергии E показана жирной кривой S(E). Наклон этой кривой, dS/dE, определяет температуру T. M(E) — плотность спектра энергий состояний системы. F1 — свободная энергия, соответствующая данному энергетическому спектру при температуре Т1. Величина F = E-T1S постоянна вдоль касательной и равна F1. Левее этой касательной — F = E-T1S < F1, правее касательной, — F = E-T1S > F1. Так как кривая S(E) здесь выпукла, т.е. лежит правее и ниже касательной, то точка касания отвечает минимуму свободной энергии при температуре T1. Дальнейшие пояснения — в тексте.
Последнее означает, в частности, что "вогнутым" участкам зависимости S от E (Рис.8-2б) стабильное состояние соответствовать никак не может: здесь в точке касания F не меньше, а больше, чем на соседних с ней участках кривой S(E). Если кривая S(E) — всюду выпукла, то ее наклон все падает по мере увеличения энергии Е. Тогда каждому наклону 1/Т отвечает только одна точка кривой (Рис.8-1, 8-4), — то есть она, эта точка, и отвечает стабильному состоянию при данной температуре Т. С изменением температуры эта точка постепенно движется, а система — постепенно ("градуально") меняет свое термодинамическое состояние, т.е. энтропию и энергию (Рис.8-4).
Рис.8-4. Градуальное изменение состояния системы с изменением температуры. Для этого необходимо, чтобы кривая S(E) была выпукла. Зная зависимость S(E) (слева), можно найти зависимости Т(Е) и, далее, Е(Т); последняя показана в центре рисунка. Справа: w(E) — функция распределение молекул по энергиям, т.е. вероятность иметь энергию Е при заданной температуре T; вероятность w(E) пропорциональна exp[-(E-TS(E))/kBT].
Если наклон кривой S(T) то падает, то растет по мере увеличения энергии Е (Рис.8-5), — то касательных с одинаковым наклоном к этой кривой может быть несколько, — и касание самой левой из них (той, у которой F меньше) выделяет стабильное состояние. При этом до какой-то температуры T* "лучшей" будет касательная в районе малых энергий, после T* — "лучшей" будет касательная в районе больших энергий.
Рис.8-5. Фазовый переход "все-или-ничего" (аналог фазового перехода первого рода в макроскопических телах) характеризуется резким изменением состояния системы при изменении температуры. Для этого необходимо, чтобы кривая S(E) имела бы вогнутый участок: в центре его свободная энергия выше, чем на его краях (см. Рис.8-2б). Переход происходит в узком диапазоне (T) температур, отвечающем сосуществованию (т.е. примерно равной вероятности) низко- и высокоэнергетичного состояния. Касательные соответствуют: температуре середины перехода T*, а также Т1 < T* и Т2 > T*. Обратите внимание, что температура T* перехода типа "все-или-ничего" (т.е. фазового перехода первого рода) совпадает именно с серединой резкого изменения энергии и с максимальным раздвоением функции распределения по состояниям, w(E).
При температурах, близких к T*, высоко- и низкоэнергетичные структуры будут сосуществовать. И — что наиболее важно — структуры со "средними" энергиями не будут проявляться: из-за "прогиба" кривой соответствующие этим состояниям точки графика лежат справа от касательной, т.е. их свободная энергия — выше, чем у структур, соответствующих точкам касания, а вероятность проявления — ничтожна. Говорят тогда, что два стабильных состояния разделены "свободно-энергетическим барьером". В этих условиях и протекает переход типа "все-или-ничего", который в макроскопических системах называется фазовым переходом первого рода. Здесь я хочу сразу оценить величину температурного интервала сосуществования высоко- и низкоэнергетичных структур. В середине перехода, при температуре Т*, свободная энергия низкоэнергетичной фазы, F1(T*) = E1-T*S1, равна свободной энергии высокоэнергетичной фазы, F2(T*) = E2-T*S2, т.е. в середине перехода
-
(E2 — E1) = T*(S2 — S1) .
(8.10)
При небольшом (на Т) сдвиге температуры от T* свободные энергии фаз немного меняются, так что разность свободных энергий фаз составляет F = F1(T*+T) - F2(T*+T) = T (S2 - S1). Фазы сосуществуют (т.е. они примерно равновероятны — скажем, соотношение их вероятностей меняется от 10:1 в пользу первой до 1:10 в пользу второй фазы), пока ехр(-F/k BT*) лежит между 10 и 1/10, т.е. пока F/kBT* находится где-то от -2 до +2. В этой области |T| < 2kBT*/(S2-S1).Значит, температурный интервал сосуществования фаз есть
-
T [2kBT*/(S2-S1)] - [-2kBT*/(S2-S1)] = 4kBT*/(S2-S1) = 4T*[kBT*/(E2-E1)]
(8.11)
Рассмотрим поучительный численный пример. Если T*~300оК (т.е. kBT*~0.6 ккал/моль), а E2-E1 составляет, как то характерно для плавления белков, порядка 50 ккал/моль [т.е. 50/(6x1023) ~ 10-22 килокалорий_на_штуку], то T — порядка десяти градусов. Если же E2-E1 составляет порядка 50 килокалорий_на_штуку (как при плавлении льдины размером с бутылку), то T — порядка 10-23 градуса. Иными словами, для фазовых переходов типа "все-или-ничего" в малых системах и — в гораздо большей степени — для фазовых переходов первого рода в макроскопических системах, — характерен резкий скачок энергии в узком диапазоне температур. В макроскопических системах этот диапазон практически бесконечно узок, а для макромолекул он охватывает несколько градусов, т.е. тоже узок по сравнению с "диапазоном наблюдения", обычно охватывающим от 0оС до 100оС. А вот в небольших олигопептидах резкого скачка нет — здесь диапазон изменения энергии может охватывать все "экспериментальное окошко" исследуемых температур.
Несколько слов о фазовых переходах второго рода. Если для переходов первого рода характерен скачок энергии системы (и ее энтропии, объема и плотности), то для переходов второго рода характерен лишь излом зависимости скорости изменения энергии с температурой, — иными словами, скачок теплоемкости. Подчеркиваю, что переход второго рода происходит в точке излома (Рис.8-6), а вовсе не посередине часто идущей за ним более или менее "S-образной" зависимости энергии (или другого наблюдаемого параметра) от температуры.
Рис.8-6. Характерная зависимость энергии, E(T), и функции распределения, w(E), при фазовом переходе второго рода. T* — температура этого фазового перехода. При этой температуре функция распределения молекул по энергиям, w(E), резко уширяется, и энергия начинает (или кончает — смотря откуда смотреть) резко изменяться. Обратите внимание, что температура фазового перехода второго рода T* совпадает именно с началом (а не с серединой) резкого изменения энергии.
На рисунках 8-4 — 8-6 я специально представил случаи, когда энергия системы сначала меняется медленно с изменением температуры, потом — резко, а потом — снова медленно. Как вы видите, такое "S-образное" поведение Е(Т) совместимо и с фазовым переходом первого рода, и с градуальным изменением системы при отсутствии какого-либо фазового перехода вообще, и с градуальным изменением, начало которому кладет фазовый переход второго рода. Я прошу обратить на это особое внимание, так как среди не-физиков существуют два непонятно откуда взявшихся предрассудка: что "переход" соответствует именно середине всякого S-образного изменения, и что если этот "переход" не первого рода — значит второго. Это не так! Обратите внимание: хотя кривые Е(Т) на рисунках 8-4 — 8-6 выглядят, в общем, одинаково, — поведение кривых распределения по энергиям, w(Е), при переходе первого рода (т.е. типа "все-или- ничего") выглядит совсем не так, как при всех остальных переходах. Для переходов типа "все-или-ничего" — и только для них — характерно наличие двух пиков у w(Е), т.е. сосуществование двух фаз. Поэтому для выяснения того, как — прыжком или постепенно — происходит переход между двумя крайними состояниями, — недостаточно увидеть, что энергия или какой-то наблюдаемый параметр резко меняется в узком диапазоне температур. Здесь нужны дополнительные измерения, которые мы рассмотрим в одной из дальнейших лекций.
В заключение поговорим о кинетике конформационных превращений. Точнее — о том, почему некоторые превращения идут очень медленно. Что здесь значит "медленно"? Предположим, вы знаете время элементарного шага по ходу процесса. Например: один остаток включается во вторичную структуру за 1 наносекунду (нс). Вы знаете также, что в цепи — 1000 звеньев. А процесс идет не за 1000 нс, а за 1000 секунд. Это и есть "медленно": на порядки медленнее, чем можно ожидать, зная время элементарного шага и число таких шагов. Надо понять — почему...
"Медленность" процессов порой связана с медленностью диффузии при высокой вязкости. Однако часто — подчеркиваю, не всегда, но часто — медленность процесса связана с преодолением высокого свободно-энергетического барьера. Особенно это типично для переходов типа "все или ничего", где свободно-энергетический барьер разделяет две фазы (Рис.8-5); здесь он всегда значителен. Такой барьер очень похож на активационный барьер в химических реакциях, — только в данном случае он имеет и энергетическую, и энтропийную составляющие. Напомню, как оценивается скорость такой "барьерной" реакции согласно классической теории переходных состояний.
Рассмотрим простейший процесс, по ходу которого система переходит из состояния А в состояние В. Пусть на пути процесса "АВ" есть один "барьер" # (Рис.8-7), и ни на этом пути, ни "сбоку" от него нет никаких "ловушек" (Рис.8-8: состояний Л, более стабильных, чем исходное A, но менее стабильных, чем конечное B; наличие ловушек усложняет процесс, но не меняет его принципиально).
Рис.8-7. Преодоление свободно-энергетического ("активационного") барьера # при переходе из состояния "А" в состояние "В". F# — свободная энергия барьера (перехoдного состояния).
Рис.8-8. "Ловушка": ею может быть как интермедиат "Л" (а), так и побочное (для реакции АВ) состояние "Л" (б). Для наличия кинетической "ловушки" важно только, что она более стабильна, чем исходное состояние "А", но менее стабильна, чем конечное состояние "В", и что на пути из "Л" в "В" находится более высокий свободно-энергетический барьер, чем на пути из А в Л.
Тогда
скорость процесса определяется (1)
населенностью барьерного ("перехдного")
состояния, и (2) скоростью перехода из
барьерного в "за-барьерное"
состояние.
Если
F#
— свободная энергия барьера,
отсчитанная от свободной энергии
начального состояния, причем F#
>> kBT,
и "ловушек" (Рис.8-8) нет, а в начальном
состоянии находится n "частиц"
(синонимы: молекул, систем и т.д.), —
то на барьере, в каждый момент времени,
находится n#
~ n.exp(-F#/kBT)
частиц. Пусть каждая из этих на-барьерных
частиц переходит за барьер за время
(время элементарного шага реакции).
Тогда за время порядка
за барьер перейдут все n#
на-барьерных частиц. На то, чтобы за
барьер перевалили бы все n частиц —
понадобится n/n#
шагов,
т.е. время порядка
-
t ~ (n/n#) ~ exp(+F#/kBT)
(8.12)
При наличии "ловушки", Л, таким же образом оценивается время перехода из А в Л и из Л в В.
Уточнение. Если на пути из А в В находится не одно, а s последовательных промежуточных состояний с со свободной энергией, близкой к F#, — то скорость процесса замедляется в s2 раз по сравнению с оценкой (8.12). Это замедление связано с диффузией частиц по верхушке барьера. Однако обычно этот диффузионный фактор не играет существенной роли.