Решение:

1. Для вычисления числовых характеристик случайной величины составим таблицу:

	10	30	50	70	90
	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4	1
	1	6	5	14	36	= 62
	10	180	250	980	3240

Таким образом:

• математическое ожидание по определению равно , или = 62;

• дисперсию определим по формуле , или ;

• среднее квадратическое отклонение по определению равно , или ;

2. Для составления функции распределения воспользуемся ее определением и свойствами: если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то,если , , если :

3. Вероятности попадания случайной величины в интервал вычислим по формуле . В данном случае , следовательно ;

4. Составим закон распределения случайной величины . Для этого найдем все возможные значения случайной величины :

Вероятности , с которыми принимает свои возможные значения, равны вероятностям , т.е. и т.д.

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

	80	40	0	-40	-80
	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4

5. Вычислим математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины :

– пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии:

для .

;

.

– непосредственно по закону распределения случайной величины . Составим таблицу для вычислений и :

	80	40	0	-40	-80
	0,1	0,2	0,1	0,2	0,4	1
	8	8	0	-8	-32
	640	320	0	320	2560

Таким образом:

• математическое ожидание равно ;

• дисперсию определим по формуле , или .

6.2. Непрерывная случайная величина

Случайная величина называется непрерывной, если все её возможные значения полностью заполняют какой-либо конечный или бесконечный интервал числовой оси.

Интегральная функция распределения

Для количественной характеристики распределения случайной величины вводится понятие интегральной функции pacпределения случайной величины.

Интегральной функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина примет значение меньше , т. е. .

Свойства функции распределения

1. Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку

2. Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. если .

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина попадёт в полуинтервал , равна приращению её интегральной функции распределения на интервале : .

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определённое, заранее заданное значение равна нулю: .

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

при , при .

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

, .

Для дискретной случайной величины функция распределения определяется по формуле:

, где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все значения , меньшие .

Дифференциальная функция распределения

Непрерывную случайную величину можно задавать не только с помощью интегральной функции, но и с использованием дифференциальной функции распределения вероятностей.

Дифференциальной функцией распределения называется производная от интегральной функции: .

Часто вместо термина "дифференциальная функция" пользуются термином "дифференциальный закон распределения" или термином" плотность вероятности".

Так как интегральная функция является первообразной дифференциальной функции, то вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством: .

Зная дифференциальную функцию, можно найти интегральную функцию распределения: .

Свойства дифференциальной функции распределения

1. Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицатель­ная: .

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен

.

Последнее равенство называется условием нормировки плотности вероятностей.