16Общее решение системы линейных уравнений
.docОбщее решение системы линейных уравнений:
Теорема №2: Если, х1,...,xn–1 – фундаментальна. система решений приведенной системы уравнений, a y0 – некоторое решение системы (1)
,то столбец y=y0+C1x1+...+Cn–rxn–r, в развернутом виде, (2)
при любых числах C1,...,Сn–r является решением системы линейных уравнений (1).
Наоборот, для каждого решения этой системы найдутся такие числа C1,...,Сn–r при которых оно имеет вид (14). Выражение, стоящее в правой части равенства (14), наз. общим решением системы линейных уравнений. Теорема верна для любых систем линейных уравнений, в частности для однородных. Правило Крамера гласит, что для существования и единственности решения системы из n уравнений с n неизвестными достаточно, чтобы детерминант матрицы системы отличался от нуля. Из теоремы №2 следует необходимость этого условия.
Предложение: Пусть А – матрица системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Если det A=0,
то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений. Доказательство: Равенство det А=0 означает, что ранг матрицы А меньше n, и, =>, приведенная система имеет бесконечно много решений. Если рассматриваемая система совместна, из формулы (14) вытекает, что и она имеет бесконечно много решений.