- •1. Основные понятия
- •2. Виды интегрируемых нелинейных уравнений п-го порядка
- •2.1. Дифференциальное уравнение вида
- •2.2. Дифференциальное уравнение вида
- •2.3. Дифференциальные уравнения вида
- •2.4. Уравнения, левая часть которого есть точная производная
- •Задания для самостоятельной работы
- •3. Уравнения п-го порядка, допускающие понижения порядка.
- •3.1. Уравнения вида
- •3.2. Уравнение вида
- •3.3. Уравнение, однородное относительно искомой функции и ее производных
- •3.4. Обобщенно однородное дифференциальное уравнение вида
- •3.5. Уравнения, приводимые к виду
- •4.1.2. Неоднородное линейное уравнение
- •4.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.1. Однородное уравнение
- •Алгоритм нахождения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами
- •4.2.2. Неоднородные линейные уравнения
- •Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
- •Алгоритм нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
- •4.3.1. Уравнения Эйлера
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •4.4.1. Приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду
- •4.4.2. Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева
- •Задания для самостоятельной работы
- •4.4.3. Приведение уравнения 2-го порядка к самосопряженному виду
- •4.4.4. Краевая задача для уравнения 2-го порядка
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Решение уравнений второго порядка с помощью рядов
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Метод малого параметра.
- •Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные работы
- •Ответы к заданиям для самостоятельной работы
- •Список использованных источников
Алгоритм нахождения частного решения уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
1. Решить однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (54). Полученное решение записать в виде:
.
Где - фундаментальная система решений однородного уравнения.
2. Выписать структуру частного решения неоднородного уравнения в виде:
.
3. Записать систему (42) для определения функций .
4. Путем интегрирования найти функции (произвольные постоянные, возникающие при интегрировании, положить равными нулю).
5. Полученные функции , подставить в выражение для , которое и будет частным решением неоднородного уравнения (54).
Пример 25. Найти частное и общее решение уравнения:
.
▲ В соответствии с методом Лагранжа, составим соответствующее этому неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами однородное уравнение
и решим его. Для этого запишем характеристическое уравнение: . Это характеристическое уравнение имеет корни: .
Мы видим, что корни характеристического уравнения комплексные, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Будем искать частное решение исходного уравнения в виде
. (*)
Составим систему (42)
или сокращая на е2х,
. (**)
Решить эту систему относительно можно различными способами, например, используя правило Крамера. В данном случае удобнее сначала преобразовать второе уравнение, а именно, умножить обе его части первого уравнения на –2 и затем прибавить полученный результат ко второму. В итоге получим уравнение:
и, следовательно, этим уравнением можно заменить второе уравнение в системе (**)
Решая эту систему по правилу Крамера, получим
.
Подставляя полученные значения в (*), получим частное решение исходного неоднородного уравнения
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.▲
2. Другой метод нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами является так называемый метод подбора или метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основан на том, что структура частного решения неоднородного линейного уравнения п-го порядка (54) в некоторых случаях повторяет структуру правой части, то есть определяется видом функции . Это случаи, когда можно представить в виде комбинаций основных функций: многочленов, показательной и тригонометрических функций. Точнее говоря, метод неопределенных коэффициентов применим к функциям специального вида, то есть к функциям, которые можно записать следующим образом:
, (55)
где Rq(x), Pl(x) – многочлены переменной х степени q и l соответственно; - заданные действительные числа.
Итак, если правая часть уравнения (54) имеет вид (55), то частное решение этого уравнения подбирается в виде:
, (56)
где т = max (q,l); Qm(x), Tm(x) – многочлены переменной х степени т с неопределенными коэффициентами и определяются следующим образом:
(57)
где - неопределенные коэффициенты, которые необходимо определить; а натуральное число s в формуле (56) определяется так:
Таким образом, по корням характеристического уравнения и виду правой части можно указать вид частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.