Вивід рівняння коливань струни через обертальний рух
Як ми бачили вище, точний розрахунок коливань струни призводить до диференційного рівняння. Задача значно спрощується, якщо звести коливання струни до обертального руху. Обертання можна розглядати як суму коливань з однаковою частотою у взаємоперпендикулярних напрямках. Таким чином, якщо знайти умови, за яких струна може обертатися із даною частотою, то за цих же умов вона може й коливатись з тією ж частотою.
Отже, розглянемо закріплену з двох боків (точки О, О на рис. 3.8) струну, що обертається з кутовою швидкістю . Виділимо елемент струни розташований між точками x та x+dx. На кінці цього елемента діє сила натягу Т, що не залежить від x і визначається силою, прикладеною до кінця струни. Проекції сили натягу струни на вісь у у точках x та x+dx дорівнюють, як це вже було знайдено, відповідно (рис. 3.8)
Ми скористалися тим, що кут << 1. Виконуючи тотожні перетворення, знаходимо, що різниця проекцій сили натягу дорівнює
. |
(22) |
(22) за виглядом співпадає з (11), але на відміну від (11), (22) є тотожністю, а не рівнянням).Проекція сили T є доцентровою силою, що призводить до обертання струни. З іншого боку, доцентрову силу можна записати у вигляді
, |
(23) |
де dl — довжина елементу струни, — густина на одиницю довжини, і зважено на те, що сила спрямована в бік негативних значень у. Приймаючи до уваги (22) та (23), отримуємо рівняння для обертання струни:
(24) |
Легко впевнитись, що рівнянню (24) відповідає функція
y = y0 sinkx, . |
(25) |
Таким чином, струна, що обертається, має форму синусоїди. Відхилення y дорівнює нулю на кінцях струни. Звідки знайдемо, що kL= n, де L — довжина струни. Підставляючи це співвідношення в (25), отримуємо для циклічної частоти
. |
(26) |
Для звичайної частоти f маємо
. |
(27) |
Зауважимо, що власні частоти (26) не залежать від пружніх властивостей струни. Цей дивний на перший погляд результат є наслідком припущення про те, що сила натягу не змінюється під час коливань. В умовах нашого експерименту це припущення виконується.
Розвинута вище теорія описує рух ідеально гнучкої струни у вакуумі. За коливань реальної струни завжди виникає розсіяння енергії (за рахунок опору повітря, тертя в кілках, тощо). Розсіяння енергії призводить до виникнення біжучої хвилі. Впливом біжучої хвилі можна знехтувати, якщо енергетичні втрати за період значно менші за запас коливальної енергії в системі.
Енергія хвилі пропорційна квадрату її амплітуди, тому умови застосування розвинутої теорії можна записати у вигляді нерівності
, |
(28) |
де а, y — амплітуди біжучої та стоячої хвилі, відповідно. Амплітуду біжучої хвилі визначають за розмиттям вузла, а амплітуду стоячої хвилі міряють в найближчій до цього вузла пучності.