3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:

Две прямые в пространстве могут:

1. Пересекаться ( но не совпадать ):

2. Быть параллельными ( но не совпадать ):

3. Совпадать:

4. Скрещиваться.

Рассмотрим каждый из четырех случаев.

1. 

   

   

   

   

   A

   

   

   

   Прямые пересекаются в точке A.

компланарные векторы, но

но неверная пропорция.

Здесь , точки, принадлежащие прямым соответственно; направляющие векторы этих прямых.

Прямые параллельны, но не совпадают.

но

но

неверная пропорция.

3. 

   

   Прямые совпадают.

4. 

   

   

   

   

   

   

   

   

   Прямые скрещиваются.

Две прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда существуют две параллельные плоскости такие, что ( см. рисунок ).

Из рисунка следует, что прямые скрещиваются тогда и только тогда, когда векторы некомпланарны. Следовательно, необходимым и достаточным условием того, что прямые скрещиваются, является условие

Рассмотрим некоторые задачи, связанные со взаимным расположением двух прямых в пространстве.

Задача 1. Найти расстояние между параллельными прямыми .

Пусть

Имеем: направляющий

вектор прямых. Ищем как высоту параллелограмма, построенного на векторах

Ищем как высоту параллелограмма , построенного на векторах ( см. рисунок)

Задача 2. Найти расстояние от точки до прямой L, если

Здесь направляющий вектор прямой, :

Задача 3. Найти угол между прямыми и , если

Ищем как угол между векторами

Задача 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и , если

Ищем расстояние как высоту параллелепипеда, построенного на векторах ( см. рисунок ):

4.Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть прямая L задана каноническим уравнением:

плоскость P задана общим уравнением:

Прямая L может: 1) пересекать плоскость P в точке A;

2) быть параллельной плоскости P;

3) принадлежать плоскости P.

Рассмотрим эти три случая.

1. Прямая и плоскость пересекаются в точке: .

В этом случае векторы и не являются взаимно ортогональными, следовательно, их скалярное произведение не равно 0:

L

A

P

Найдем угол между прямой L и плоскостью P. Обозначим α искомый угол между прямой и плоскостью, β – угол между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой ( см. рисунок ). Очевидно, что

Отсюда

2.Прямая L параллельна P плоскости, но не лежит в плоскости P:

, но В этом случае векторы и взаимно перпендикулярны, но точка лежащая на прямой L, не принадлежит плоскости P.

L

но

P

3.Прямая L лежит в плоскости P: В этом случае выполнены условия

; точка , лежащая на прямой L, принадлежит плоскости P. Следовательно, векторы и взаимно перпендикулярны, точка принадлежит плоскости P.

P

L