3.2 Отображения

Пусть и – непустые множества. Под отображением множества в множество будем понимать закон (или правило), который каждому элементу множества ставит в соответствие некоторый элемент множества . Закон соответствия обычно будем обозначать строчными греческими буквами и т.д. Множество называется областью определения, а множество – областью действия данного отображения. Тот факт, что отображение с законом соответствия действует из множества во множество будем обозначать или . Часто, допуская вольность речи, будем употреблять выражение «отображение » вместо «отображение ». В таких случаях либо из контекста ясно, каковы области определения и действия данного отображения, либо безразлично, каковы эти множества. Если при отображении элементу из отвечает элемент из , то это записывается следующим образом, или , . При этом элемент называется образом элемента при отображении , а элемент называется прообразом элемента при отображении . Подчеркнем, что отображение это тройка: область определения, область действия и закон соответствия. Изменения одной из компонент тройки влечёт изменение отображения, точнее, два отображения и считаются равными (записывается ) тогда и только тогда, когда совпадают их области определения, области действия и законы соответствия, т.е. для любого из области определения . Отображение числового множества в числовое множество называется также функцией, определённой на со значениями в , и в этом случае называется независимой переменной, а – зависимой переменной. В других случаях употребляются термины «преобразование множества в множество » или «оператор, действующий из множества в множество ». Все эти термины имеют одинаковое содержание, а их употребление в конкретных случаях диктуется стремлением подчеркнуть те или иные интуитивные обстоятельства.

Приведем некоторые употребительные частные случаи отображений.

Пример 1. Отображение , которое действует по правилу , называется тождественным отображением.

Пример 2. Отображение , которое каждому элементу из ставит в соответствие один и тот же элемент из , , называется постоянным отображением.

Пример 3. Пусть дано отображение и . Отображение, которое каждому элементу из ставит в соответствие элемент из , называется ограничением (или сужением) отображения на множество и обозначается или .

Через обозначается совокупность всех образов элементов множества при отображении . Ясно, что . Если , отображение называется сюръективным (или сюръекцией).

Отображение называется инъективным (или инъекцией), если для любых элементов и из .

Если отображение одновременно сюръективно и инъективно, оно называется биективным (или биекцией). Биективные отображения называются также взаимнооднозначными.

Пусть задано отображение и . Рассмотрим уравнение относительно неизвестной , . Сюръективность отображения означает, что для любого из это уравнение имеет хотя бы одно решение. Инъективность отображения означает, что это уравнение при любом из не может иметь более одного решения, т.е. для некоторых решений может не существовать, но если таково, что решение уравнения существует, то оно единственно. Биективность отображения означает, что уравнение разрешимо при любых из и имеет единственное решение , . В последнем случае существует биективное отображение , действующее по правилу , где – прообраз элемента () при отображении . Отображение называется обратным к отображению и обозначается . Существование обратного отображения является необходимым и достаточным условием биективности отображения .

Пусть заданы отображения и . Если , то и определен элемент . Следовательно, определено отображение , действующее по правилу: . Это отображение называется композицией отображений и и обозначается (или ).

Заметим, что символы и имеют в общем случае различный смысл. Если существует отображение , то отображения может, вообще говоря, не существовать. Но даже если оба отображения и существуют, они в общем случае не равны, т.е. композиция отображений некоммутативна.

Достаточное количество соответствующих примеров доставляют элементарные функции школьного курса математики ( и т.д.), которые можно рассматривать как отображения на . В этом случае композиция отображений является сложной функцией. Например, .

В то же время композиция отображений обладает свойством ассоциативности. А именно, если , , три произвольных отображения, то

, (3.6)

т.е. отображения, стоящие в обеих частях этого равенства, одновременно определены на множестве , действуют в одно и то же множество и при этом для всех из

.

В самом деле, для любых из

,

,

и поэтому (3.6) выполняется в силу условия равенства двух отображений.

Наконец, отметим, что если – биекция, то композиции и всегда определены и представляют собой тождественные отображения соответственно , и , так как

, .