![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Часть 1
- •Гл. 1. Алгебра матриц
- •Матрицы. Терминология
- •1.2 Принцип равенства
- •1.3 Транспонированная матрица
- •1.4 Сложение матриц
- •1.5 Умножение матрицы на число
- •1.6 Скалярное умножение арифметических векторов
- •1.7 Умножение матриц
- •1.8 Теория делимости квадратных матриц
- •1.9. Основные типы алгебраических структур.
- •1.10 Элементарные преобразования над матрицами и элементарные
- •1.11 Эквивалентные матрицы
- •1.12 Отношение эквивалентности.
- •1.13 Разложение матрицы в произведение простейших
- •1.14 Матричные уравнения
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
1.3 Транспонированная матрица
Пусть матрица
имеет вид (1.1). Тогда матрица
называется матрицей
транспонированной
к матрице
.
Легко заметить, что, во-первых, матрицы
и
имеют одинаковые главные диагонали, а
во-вторых, матрицу
можно получить из матрицы
поворотом последней вокруг её главной
диагонали на угол, равный
.
В частности, если
,
тогда
,
и, наоборот, если
,
тогда
.
Отметим следующие очевидные свойства операции транспонирования матриц:
1)
2)
Если
,
тогда матрица
называется симметрической.
Из свойства 1) следует, что симметрические
матрицы всегда квадратные. Примером
симметрической матрицы является матрица
.
1.4 Сложение матриц
Операция сложения
определена лишь для матриц одинакового
размера. Именно, пусть
,
Суммой матриц
и
называется матрица
(1.2)
О сложении матриц
говорят также, что оно осуществляется
поэлементно. Как уже отмечалось выше,
в процессе изучения алгебры матриц мы
будем пользоваться упрощенными
обозначениями
и т.д., не указывая всякий раз множества
возможных значений индексов
и
,
поскольку эти значения будут ясны из
контекста. Например, следующее определение
суммы матриц эквивалентно вышеприведенному
определению.
Пусть
и
– действительные матрицы одного порядка,
тогда
(1.3)
Знак
читается
“равно по определению”, а отсутствие
дополнительных указаний на возможные
значения индексов
и
объясняется тем, что все матрицы, входящие
в равенство (1.3), имеют одинаковый размер
при некоторых натуральных значениях
и
и, следовательно,
.
Операция сложения матриц обладает рядом свойств, роднящих её с операцией сложения действительных чисел.
1) Операция сложения
матриц коммутативна, т.е. для любых
и
из
◄ Пусть
.
Тогда
.
Здесь на первом и пятом шагах мы воспользовались обозначением суммы матриц, на втором и четвертом – определением суммы, а на третьем шаге – принципом равенства матриц. ►
2) Операция сложения
матриц ассоциативна, т.е. для любых
и
из
.
3) Среди всех матриц
множества
существует единственная матрица
,
обладающая свойством
(1.4)
для
любой матрицы
из
.
◄ Рассмотрим
матрицу порядка
,
все элементы которой равны 0. Ясно, что
.
для любой матрицы
из
.
Тем самым показано существование матрицы
,
обладающей нужным свойством. Для
доказательства её единственности
покажем, что любая матрица
из
,
удовлетворяющая равенству (1.4) для любых
из
,
совпадает с матрицей
.
Действительно, если матрица
такая, как сказано выше, то одновременно
выполняются равенства
и
.
Используя свойство
коммутативности сложения матриц,
получаем, что
.
►
Матрица
называется нуль-матрицей, а свойство
3) – свойством существования и
единственности нуль-матрицы.
4) Для любой матрицы
существует единственная матрица
такая, что
(1.5)
◄ Пусть
,
тогда
.
Действительно,
.
Тем самым доказано
существование матрицы
,
удовлетворяющей равенству (1.5). Для
доказательства её единственности
предположим существование ещё одной
матрицы
,
удовлетворяющей равенству (1.5), т.е.
равенству
(1.6)
Тогда
.
В то же время,
.
►
Матрица
называется матрицей, противоположной
матрице
,
и обозначается
,
а свойство 4) – свойством существования
и единственности противоположной
матрицы. С помощью противоположной
матрицы вводится определение вычитания
матриц, именно
.
5) Операции сложения и транспонирования матриц связаны формулой