8. Структура курса

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, практические занятия, самостоятельная работа обучающихся

Объем часов/зачетных единиц

Ссылки на цели курса

1

2

3

Раздел 1.

Основные алгебраические структуры

Тема 1.1.

Группы, кольца, поля

Содержание учебного материала

1

Общие понятия групп, колец, полей: аксиоматика и примеры. Группы подстановок: разложение в произведение независимых циклов, четные и нечетные подстановки.

3

1, 2, 4

2

Кольца и поля вычетов по модулю n, кольцо матриц. Подгруппы, подкольца и подполя.

Практические занятия

1

Задачи на определения группы, кольца и поля.

2

4, 10 – 13

2

Задачи на тему группа подстановок.

3

Задачи на тему кольца вычетов.

Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 1.

4

4, 10 – 14

Тема 1.2.

Матрицы, основные операции, определители

Содержание учебного материала

1

Квадратные и прямоугольные матрицы и действия над ними. Трансвекции и диагональные матрицы. Транспонирование матриц.

3

1, 2, 4

2

Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения.

3

Обратимая матрица. Единственность обратной матрицы и ее вычисление. Формулы Крамера.

Практические занятия

1

Задачи на тему действия над матрицами.

2

4, 10 – 13

2

Задачи на тему определители матриц.

3

Задачи на тему обратимость матриц.

Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 2.

4

4, 10 – 14

Тема 1.3.

Системы линейных уравнений

(СЛУ)

Содержание учебного материала

1

Запись системы линейных уравнений в матричной форме. Системы линейных уравнений с обратимой матрицей.

4

1, 2, 5

2

Ранг матрицы. Способы его нахождения. Теорема о ранге.

3

Критерий совместности системы линейных уравнений. Эквивалентные системы. Однородная система с квадратной матрицей. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между решениями систем AX=B и AX=0. Общее решение совместной системы.

Практические занятия

1

Задачи на тему совместность СЛУ.

2

5, 10 – 13

2

Задачи на тему решения СЛУ методом Гаусса

3

Задачи на тему решение СЛУ методом Крамера.

5

Задачи на нахождение ранга матрицы.

4

Задачи на нахождения фундаментального набора решений однородной системы.

Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 3.

5

5, 10 – 14

Раздел 2.

Векторные пространства и линейные отображения

Тема 2.1.

Векторные пространства

Содержание учебного материала

1

Векторное пространство над полем: аксиомы, примеры, линейные комбинации, линейная зависимость, эквивалентные наборы векторов.

4

1, 2, 6

2

Теорема о замене, ранг набора векторов, равенство рангов эквивалентных наборов.

3

База пространства, размерность, координаты, изоморфизм пространств.

4

Матрица перехода, ее невырожденность, связь между координатами в разных базах.

5

Подпространство, сумма и пересечение подпространств, связь между их размерностями, прямая сумма.

Практические занятия

1

Задачи на определение и свойства векторных пространств.

2

6, 10 – 13

2

Задачи на тему база пространства.

3

Задачи на нахождение матрицы перехода от одной базы к другой.

4

Задачи на нахождение суммы и пересечения подпространств.

Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 4.

5

6, 10 – 14

Тема 2.2.

Линейные отображения

(ЛО)

Содержание учебного материала

1

Линейное отображение (ЛО) и его матрица. Координаты образа, связь между матрицами ЛО в разных базах, подобные матрицы.

2

1, 2, 6

2

Операции над линейными отображениями. Собственные векторы и собственные значения, характеристический полином.

Практические занятия

1

Задачи на определение линейного отображения.

2

6, 10 – 13

2

Задачи на связь между матрицами ЛО в разных базах.

3

Задачи на нахождение собственных чисел и собственных веторов.

Самостоятельная работа студента

1

Подготовка к теоретическому опросу № 1.

8

1 – 6, 10 –14

2

Подготовка к контрольной работе № 1.

3

Выполнение домашней самостоятельной работы № 5.

Контрольная работа № 1.

2

1 – 6, 10 – 14

Теоретический опрос № 1.

Раздел 3.

Аналитическая и многомерная евклидова геометрия

Тема 3.1.

Скалярное произведение, ортогонализация. Евклидово пространство

Содержание учебного материала

1

Скалярное произведение геометрических векторов и его основные свойства.

4

1, 2, 7

2

Длина вектора и угол между векторами, неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника.

3

Ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Ортогональные разложения пространства.

4

Векторное и смешанное произведение векторов, объем параллелепипеда.

5

Векторное пространство Rⁿ. Скалярное произведение и ортогональный базис в пространстве Rⁿ.

6

Евклидово пространство.

Практические занятия

1

Задачи на основные свойства скалярного произведения.

2

7, 10 – 13

2

Задачи связанные с определением длины вектора и угла между векторами.

3

Задачи на реализацию процесса ортогонализации Грама-Шмидта.

4

Задачи на векторные и смешанные произведения векторов.

Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 6.

6

7, 10 – 14

Тема 3.2.

Плоские кривые второго порядка

Содержание учебного материала

1

Плоские кривые второго порядка, их канонические уравнения.

4

1, 2, 8

2

Эллипс и его свойства.

3

Гипербола и её свойства.

4

Парабола и её свойства.

5

Приведение уравнения кривой к каноническому виду.

Практические занятия

1

Задачи на основные свойства кривых второго порядка.

2

8, 10 – 13

2

Задачи на приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 7 (часть кривые).

4

8, 10 – 14

Тема 3.3.

Поверхности второго порядка

Содержание учебного материала

1

Канонические уравнения и геометрические свойства поверхностей.

2

1, 2, 8

2

Приведение к каноническому виду уравнения поверхности.

Практические занятия

1

Задачи на основные свойства поверхностей.

1

8, 10 – 13

2

Задачи на приведение уравнения кривой к каноническому виду.

Самостоятельна работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 7 (часть поверхности).

5

8, 10 – 14

Раздел 4.

Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей

Тема 4.1.

Кривые в метрическом пространстве

Содержание учебного материала

1

Обобщенное понятие кривой. Длина кривой в метрическом пространстве.

2

1, 2, 9

2

Длина участка пути как функция параметра. Стандартные пути (естественно параметризованные кривые).

3

Единичный касательный вектор, вектор кривизны и связанные с ним понятия.

4

Вычисление единичного касательного вектора и вектора кривизны; формулы Френе.

Практические занятия

1

Задачи на нахождение длины кривой и длины участка кривой в метрическом пространстве.

1

9, 10 – 13

2

Задачи на нахождение кривины, вектора кривизны и касательного вектора.

Самостоятельная работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 8 (часть кривые).

4

9, 10 – 14

Тема 4.2.

Дифференциальная геометрия поверхностей

Содержание учебного материала

1

Регулярные поверхности. Кривизна кривой на поверхности, первая и вторая квадратичные формы..

2

1, 2, 9

2

Теорема Бонне. Теорема Гаусса и формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци.

Практические занятия

1

Задачи на составление уравнений поверхности вращения.

1

9, 10 – 13

2

Задачи на нахождение 1 и 2 квадратичных форм и использование формул Гаусса- Петерсона-Кодацци.

Самостоятельная работа студента – выполнение домашней самостоятельной работы № 8 (часть кривые).

2

9, 10 – 14

Раздел 5.

Элементы топологии

Тема 5.1.

Топологические пространства

Содержание учебного материала

1

Топологическое пространство. Возможность введения различных топологических структур на одном и том же множестве.

2

1, 2, 3

2

База топологии.

3

Аксиомы отделимости.

4

Хаусдорфово топологическое пространство.

5

Метрическое пространство как топологическое пространство.

Практические занятия

1

Задачи на определение топологии и её видов.

1

3, 10 – 13

2

Задачи на определение метрики и эквивалентность метрик.

Самостоятельная работа студента

1

Подготовка к теоретическому опросу № 2.

7

3, 10 – 14

2

Подготовка к контрольной работе № 2.

3

Выполнение домашней самостоятельной работы № 9

Контрольная работа № 2.

2

1, 2, 3,7 – 9,

10 – 14

Теоретический опрос № 2.

Всего:

118