Б

Создание четырехмерной формулировки теории относительности

ольшое значение для дальнейшего развития релятивистской теории имел созданный Германом Минковским математический аппарат, с помощью которого он дал изящную математическую интерпретацию этой физической теории, подчеркнув ее сущность как теории пространства и времени.

Минковский использовал понятие четырехмерного многообразия (пространства-времени), которое он называл «миром». Каждую точку, определяющуюся, как и у Пуанкаре, четырьмя координатами x₁ = x, x₂ = y, x₃ = z, x₄ = ict, Минковский называл «мировой точкой», а кривую, описывающую изменение положения физического объекта в этом четырехмерном многообразии, – «мировой линией».

Формулы преобразований Лоренца в интерпретации Минковского приняли симметричный вид

; ; ;

(16.8)

и могли рассматриваться как формулы преобразования координат при вращениях четырехмерной координатной системы. Если при вращениях обычной трехмерной системы координат инвариантным остается квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками , то в четырехмерном «мире» Минковского инвариантным относительно преобразований Лоренца оказывается квадрат интервала .

Минковский делит интервалы на времениподобные, для которых > 0 и пространственно-подобные, когда эта величина отрицательна. Два события, «расстояние» между которыми в четырехмерном «мире» Минковского является времениподобным интервалом, могут быть связаны причинно-следственной связью, так как можно найти систему отсчета, в которой эти события одноместны (т.е. происходят в одной точке обычного трехмерного пространства).

Вслед за определением «мира» и «мировой точки» Минковский вводит следующую основную аксиому: «Субстанция, находящаяся в любой мировой точке, всегда при надлежащем определении пространства и времени может рассматриваться как находящаяся в покое». Эта аксиома эквивалентна утверждению, что скорость любого вещественного объекта всегда меньше скорости света c, так что с ним можно связать систему отсчета. Это означает, в свою очередь, что интервал любого физического тела является времениподобным.

Математическим выражением инвариантности скорости света, по Минковскому, является равенство нулю в любой инерциальной системе интервала между событиями излучения и приема светового сигнала.

В системе отсчета, связанной с физическим объектом, выражение для интервала состоит лишь из временной части: ds = cdt. Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с объектом, получило название собственного времени. Собственное время  = t₂ – t₁ любого физического объекта связано с промежутком времени , отсчитанным по часам в системе, движущейся относительно объекта, соотношением

, (16.9)

то есть собственное время движущегося объекта всегда меньше, чем соответствующий промежуток времени в неподвижной системе.

Согласно эйнштейновскому принципу относительности, все законы природы инвариантны относительно преобразований Лоренца, поэтому их можно выразить в виде соотношений между четырехмерными векторами и тензорами, если только подходящим образом представить физические величины, фигурирующие в формулировках этих законов, в виде четырехмерных векторов и тензоров или зависящих от них функций. Так, наряду с четырехмерным радиус-вектором, Минковский вводит понятие о векторе четырехмерной скорости , проекциями которого являются производные проекций четырехмерного радиус-вектора по собственному времени. Таким образом, в работах Минковского специальная теория относительности оказывается изложенной на языке четырехмерной геометрии, который является наиболее адекватным способом описания законов релятивистской физики.

Эйнштейн писал: «То обстоятельство, что нет объективного расщепления четырехмерного континуума на трехмерно-пространственный и одномерно-временной континуумы, имеет своим следствием, что законы природы получают свою логически наиболее удовлетворительную форму лишь в том случае, когда их выражают как законы четырехмерного пространственно-временного континуума. В этом заключается сущность того значительного методического успеха, которым теория относительности обязана Минковскому».