![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Алгебраические свойства
не
замкнуто относительно деления
двух целых чисел (например, 1/2). Следующая
таблица иллюстрирует несколько основных
свойств сложения и умножения для любых
целых a, b и c.
|
сложение |
умножение |
замкнутость: |
a + b — целое |
a × b — целое |
ассоциативность: |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a × (b × c) = (a × b) × c |
коммутативность: |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
существование нейтрального элемента: |
a + 0 = a |
a × 1 = a |
существование противоположного элемента: |
a + (−a) = 0 |
a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым |
дистрибутивность умножения относительно сложения: |
a × (b + c) = (a × b) + (a × c) |
На
языке абстрактной
алгебры первые пять вышеперечисленных
свойств сложения говорят о том, что
является
абелевой
группой относительно бинарной
операции
сложения, и, следовательно, также
циклической
группой, так как каждый ненулевой
элемент
может
быть записан в виде конечной суммы 1 + 1
+ … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически,
является
единственной бесконечной циклической
группой по сложению в силу того, что
любая бесконечная циклическая группа
изоморфна
группе
.
Первые
четыре свойства умножения говорят о
том, что
—
коммутативный моноид
по умножению. Однако стоит заметить,
что не каждое целое имеет противоположное
по умножению, например, нет такого x из
,
что 2x = 1, так как левая часть уравнения
чётна, а правая нечётна. Из этого следует,
что
не
является группой по умножению, а также
не является полем.
Наименьшее поле, содержащее целые
числа, — множество
рациональных цисел (
).
Совокупность
всех свойств таблицы означает, что
является
коммутативным кольцом
с единицей относительно сложения и
умножения.
Обычное
деление не определено на множестве
целых чисел, но определено так называемое
деление с остатком: для любых целых
a и b,
,
существует единственный набор целых
чисел q и r, что a = bq + r и
,
где |b| — абсолютная
величина (модуль) числа b.
Здесь a — делимое, b —
делитель,
q — частное, r — остаток.
На этой операции основан алгоритм
Евклида нахождения наибольшего
общего делителя двух целых
чисел.
Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
Рациональные
числа – это числа, которые можно
представить в виде дроби
,
где m и n – целые числа, n ? 0. Пример:
;
;
;
1,01; 12 и т.д. Все целые числа являются
рациональными.
Действительно,
любое целое число n можно представить
в виде дроби
.
Например, целое число
18 – это
.
Две
дроби
считаются
равными, если
.
Пример:
=
, так как 3 • 2 = 6 • 1.
Очевидно, что
дроби
равны.
На этом свойстве основано сокращение
дробей. Для того чтобы сократить дробь,
находим общий делитель числителя и
знаменателя и на этот делитель делим
числитель и знаменатель - полученная
дробь будет равна исходной.
Пример:
Сократить дробь
.
Над
рациональными числами операции сложения,
умножения и деления определены следующим
образом:
1. Операция сложения:
.
Пример:
.
2.
Операция умножения:
.
Пример:
.
3.
Операция деления:
,
то есть, делитель «переворачиваем»
Пример:
.
При
сравнении рациональных чисел применяют
следующие правила:
1. Всякое
положительное рациональное число всегда
больше всякого отрицательного
рационального числа.
2. Если два
числа
положительны,
то число
больше
,
если
,
для отрицательных - наоборот.
Пример:
,
так как 3 • 6 > 5 • 2.
Иррациональные числа. Сравнение иррациональных и рациональных чисел.
Иррациональные числа. Числа целые, дробные, десятичные конечные и десятичные периодические носят общее название рациональных чисел; десятичные бесконечные дроби непериодические называются иррациональными числами2). Первые служат мерою величин, соизмеримых с единицею, вторые—мерою величин, несоизмеримых с единицею.
Иррациональное число считается известным (или данным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков.
Два иррациональных числа (как и два рациональных) считаются равными, если они произошли от измерения одною и тою же единицею двух равных величин; из двух неравных чисел то считается большим, которое произошло от измерения большей величины. Две равные величины, конечно, должны содержать в себе одинаковое число целых единиц, одинаковое число десятых долей, одинаковое число сотых долей и т. п., поэтому равные иррациональные числа должны быть выражены одинаковыми цифрами3). Большая же величина должна содержать в себе большее число целых или — при равенстве целых—большее число десятых, или — при равенстве целых и десятых — большее число, сотых и т. д. Напр., число 2,745037... больше числа 2,745029..., так как в первом 6-я цифра выражает число большее, чем 6-я цифра во втором, при тождественности всех предыдущих цифр.
Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, смотря по тому, измеряют ли они величины, считаемые положительными, или величины, считаемые отрицательными.
186. Приближенные значения иррационального числа. Пусть нам дано какое-нибудь иррациональное число α 4), т. е. пусть указан способ, посредством которого мы можем получить сколько угодно цифр числа α (этим способом может быть, напр., то правило, посредством которого мы находим приближенные квадратные корни с точностью до 1/10 до 1/100 до 1/1000 и т. д.). Положим, мы нашли такие 5 цифр числа α:
α = 1,4142...
Возьмем из этих цифр несколько первых, напр, цифры 1,41, а остальные отбросим. Тогда мы получим приближенное значение числа α, причем это значение будет с недостатком, так как 1,41 < α. Если последнюю из удержанных нами цифр увеличим на 1, т. е. вместо 1,41 возьмем 1,42, то получим тоже приближенное значение числа α, но с избытком. Обыкновенно из двух приближенных значений, из которых одно с недостатком, другое с избытком, берут значение с недостатком, если первая из отброшенных цифр менее 5, и значение с избытком, если эта цифра больше 5.
187. Определение действий над иррациональными числами. Пусть α и β будут какие-нибудь данные положительные иррациональные числа. Если эти числа даны, то это значит, что мы можем найти их приближенные значения с любою точностью. Пусть, напр., приближенные значения чисел α и β, взятые с недостатком, будут такие (мы берем приближенные значения √3 и √2 ):
|
до 0,1 |
до 0,01 |
до 0,001 |
до 0,0001 |
для числа α ..... |
1,7 |
1,73 |
1,732 |
1,7320 |
для числа β ..... |
1,4 |
1,41 |
1,414 |
1,4142 |
(Соответствующие приближенные значения с избытком получаются из этих чисел посредством усиления последнего десятичного знака на 1.)
Тогда: а) сложить α и β значит найти число, которое было бы
больше каждой из сумм: 1,7 + 1,1 . . . . =3,1 1,73 + 1,41 . . . =3,14 1,732+1,414 . . .=3,146 1,7320+1,4142 . . =3,1462 |
и меньше каждой из сумм: 1,8+1,6. . . . =3,3 1,74+1,42. . . =3,16 1,733 + 1,415 . . =3,146 1,7321 + 1,4143 . .=3,1464 |
т. е. сложить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше суммы любых приближенных их значении, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближенных значении, взятых с избытком.
б) Беря приближенные значения чисел α и β, указанные сейчас, мы можем сказать, что произведение α β есть число, которое
больше каждого из произв.: 1,7•1,4......... =2,38 1,73 • 1,41.......=2,4393 1,732•1,114......=2,449048 1,7320 • 1,1142...=2,44939440 |
и меньше каждого из произв.: 1,8•1,5..........=2,70 1,74 • 1,42.......=2,4708 1,733•1,415......=2,452195 1,7321 • .1,4143 ...=2,44970903 |
т. е. перемножить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше произведения их любых приближенных значений, взятых с недостатком, но меньше произведения их любых приближенных значений, взятых с избытком.
в) Возвысить иррациональное число α во вторую, третью, четвертую и т. д. степени — значит найти произведение, составленное из двух, трех, четырех и т. д. сомножителей, равных α.
г) Обратные действия определяются для иррациональных чисел так же, как и для рациональных; так, вычесть из числа α число β значит найти такое число х, чтобы сумма β + х равнялась α, и т. п.
Если одно из чисел α или β будет рациональное, то в указанных определениях прямых действий вместо приближенных значений такого числа можно брать точное число.
Произведение иррационального числа на нуль принимается, как и для чисел рациональных, равным нулю.
Действия над отрицательными иррациональными числам и производятся согласно правилам, данным для рациональных отрицательных чисел.
При более обстоятельном рассмотрении можно установить, что действия над иррациональными числами обладают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными; напр., сумма и произведение обладают свойствами переместительным и сочетательным; произведение и деление, кроме того, обладают еще распределительным свойством. Свойства, выражаемые неравенствами, также сохраняются у чисел иррациональных; так, если α > β, то α + γ > β, αγ > βγ (если γ > 0) и αγ < βγ (если γ < 0) и т. п.
Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
Еще
древние греки обнаружили, что не всегда
длину точно заданного отрезка можно
выразить с помощью рационального числа.
Например, если задан квадрат, длины
сторон которого имеют длину, заданную
рациональным числом, то какова длина
его диагонали? Диагональ можно нарисовать
точно, но невозможно выразить ее длину
с помощью рационального числа. Такие
отрезки называли несоизмеримыми. Однако,
греками была разработана теория отношения
отрезков, учитывая, что они могут быть
несоизмеримы.
Современная математика
использует в этом случае понятие
иррационального числа.
Иррациональное
число – число, которое не может быть
представлено ни в виде дроби с целым
числителем и знаменателем, ни в виде
бесконечной периодичной десятичной
дроби. Иррациональные числа могут быть
представлены только бесконечными
непериодическими дробями.
Примеры
иррациональных чисел:
-
это иррациональное число.
=
1, 41…
е = 2,718281828459045…
Действительное
числа, вещественное число – это любое
рациональное или иррациональное
число.
Примеры действительных чисел:
3/5; 1,8; 7,121212…;
….
Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
Числовая
прямая, числовая ось, - это прямая на
которой изображаются действительные
числа. На прямой выбирают начало отсчета
– точку О (точка О изображает 0) и точку
L, изображающую единицу. Точка L обычно
стоит справа от точки О. Отрезок ОL
называют единичным отрезком.
Точки,
стоящие справа от точки О изображают
положительные числа. Точки стоящие
слева от точки. О, изображают отрицательные
числа. Если точка Х изображает положительное
число х, то расстояние ОХ = х. Если точка
Х изображает отрицательное число х, то
расстояние ОХ = - х.
Число, показывающее
положение точки на прямой, называется
координатой этой точки.
Точка
V изображенная на рисунке имеет
координату 2, а точка H имеет координату
-2,6.
Модулем действительного числа
называется расстояние от начала отсчета
до точки, соответствующей этому числу.
Обозначают модуль числа х, так: | х |.
Очевидно, что | 0 | = 0.
Если число х
больше 0, то | х | = х, а если х меньше 0, то
| х | = - х. На этих свойствах модуля,
основано решение многих уравнений и
неравенств с модулем.
Пример: Решить
уравнение | х – 3 | = 1.
Решение:
Рассмотрим два случая – первый случай,
когда х -3 > 0, и второй случай, когда х
- 3 0.
1. х - 3 > 0, х > 3.
В этом
случае | х – 3 | = х – 3.
Уравнение
принимает вид х – 3 = 1, х = 4. 4 > 3 –
удовлетворят первому условию.
2. х
-3
0,
х
3.
В
этом случае | х – 3 | = - х + 3
Уравнение
принимает вид х + 3 = 1, х = - 2. -2
3
– удовлетворят второму условию.
Ответ:
х = 4, х = -2.
Числовые выражения.
Числовое
выражение – это совокупность одного
или нескольких чисел и функций, соединенных
знаками арифметических операций и
скобками.
Примеры числовых
выражений:
Значением
числового выражения является
число.
Операции в числовом выражении
выполняются в следующей последовательности:
1.
Действия в скобках.
2. Вычисление
функций.
3. Возведение в степень
4.
Умножение и деление.
5. Сложение и
вычитание.
6. Однотипные операции
выполняются слева на право.
Так
значением первого выражения будет само
число 12,3
Для того чтобы вычислить
значение второго выражения, действия
будем выполнять в следующей
последовательности:
1. Выполним
действия в скобках в следующей
последовательности - сначала 2 возведем
в третью степень, затем от полученного
числа отнимем 11:
3 • 4 + (23 - 11) = 3 • 4 +
(8 - 11) = 3 • 4 + (-3)
2. Умножим 3 на 4:
3
• 4 + (-3) = 12 + (-3)
3. Выполним последовательно
операции слева направо:
12 + (-3) =
9.
Выражение с переменными – это
совокупность одного или нескольких
чисел, переменных и функций, соединенных
знаками арифметических операций и
скобками. Значения выражений с переменными
зависят от значений, входящих в него
переменных. Последовательность выполнения
операций здесь та же, что и для числовых
выражений. Выражения с переменными
иногда бывает полезно упрощать, выполняя
различные действия – вынесение за
скобки, раскрытие скобок, группировки,
сокращение дробей, приведение подобных
и т.д. Так же для упрощения выражений
часто используют различные формулы,
например, формулы сокращенного умножения,
свойства различных функций и т. д.
Алгебраические выражения.
Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую степень (причём показатели корня и степени должны обязательно быть целыми числами) и знаками последовательности этих действий (обычно скобками различного вида). Количество величин, входящих в алгебраическое выражение должно быть конечным. [1]
Пример алгебраического выражения:
«Алгебраическое выражение» — понятие синтаксическое, то есть нечто является алгебраическим выражением тогда и только тогда, когда подчиняется некоторым грамматическим правилам (см. Формальная грамматика). Если же буквы в алгебраическом выражении считать переменными, то алгебраическое выражение обретает смысл алгебраической функции.
Равенства и неравенства алгебраических выражений. Многочлены.
Алгебраические дроби. Формулы сокращенного умножения.
Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.