- •Введение
- •1. Основные понятия теории цепей
- •1.1. Основные определения
- •1.2. Идеализированные пассивные элементы
- •Резистивный элемент
- •Емкостной элемент
- •Индуктивный элемент
- •Схемы замещения реальных элементов электрических цепей
- •1.3 Идеализированные активные элементы Схемы замещения источников электрической энергии постоянного тока
- •Управляемые источники тока и напряжения
- •1.4. Топология цепей Схемы электрических цепей
- •Напряжение на участке цепи
- •Закон Ома для участка цепи
- •Компонентные уравнения
- •Законы Кирхгофа
- •Топологические уравнения
- •Графы схем электрических цепей
- •Определение числа независимых узлов и контуров
- •1.5. Уравнение электрического равновесия цепей Основные задачи теории цепей
- •Понятие об уравнениях электрического равновесия
- •Классификация электрических цепей
- •2. Методы решения задач определения токов и напряжений.
- •Синусоидальный ток. Основные характеристики.
- •Связанные колебательные контуры общие сведения
- •Схемы замещения
- •Преобразование электрических цепей
- •1.Основные определения
- •Неуправляемые нс Управляемые нс
- •1.Определение рабочих точек нелинейных резистивных элементов.
- •Выпрямление переменного напряжения
- •Соединение нагрузки в треугольник.
- •Соединение звезда-звезда без нулевого провода.
- •Если нагрузка равномерная, то
Определение числа независимых узлов и контуров
Для определения числа независимых узлов и независимых контуров электрической цепи и, следовательно, числа независимых уравнений, составляемых на основании законов Кирхгофа, воспользуемся тем обстоятельством, что для линейной независимости системы уравнений достаточно, чтобы каждое из входящих в систему уравнений отличалось от остальных хотя бы одной переменной.
Общее число линейно независимых уравнений, которые можно составить для произвольной цепи на основании законов Кирхгофа, оказывается равным числу ветвей рассматриваемой цепи:
m+n=(q-1)+(p+q-1)=p.
1.5. Уравнение электрического равновесия цепей Основные задачи теории цепей
Любую электрическую цепь можно рассматривать как систему с одним или несколькими входами и одним или несколькими выходами.
Рис. 1.34
В зависимости от исходных данных и конечной цели исследования в теории цепей различают две группы задач: задачи анализа и задачи синтеза.
Задача анализа цепи состоит в определении реакции цепи s(t) на заданное внешнее воздействие x(t).
Задача синтеза цепи заключается в нахождении цепи по заданной реакции цепи s(t) на некоторое внешнее воздействие x(t).
В частном случае задача анализа может сводиться к нахождению соотношений между реакциями цепи на отдельных выходах sj(t) и воздействиями xi(t), приложенным к определенным входам. Такие соотношения называются характеристическими (системными функциями, функциями) цепи. В зависимости от того, какая величина - частота или время - является аргументом в выражениях, описывающих соотношения между откликом и внешним воздействием, различают частотные и временные характеристики цепи.
Понятие об уравнениях электрического равновесия
Математически задача анализа электрической цепи сводится к составлению и решению системы линейно независимых уравнений, в которых в качестве неизвестных фигурируют токи и напряжения ветвей исследуемой цепи. Уравнения, решение которых, позволяет определить токи и напряжения ветвей электрической цепи, называются уравнениями электрического равновесия цепи. Число уравнений электрического равновесия должно быть равно числу неизвестных токов и напряжений.
На практике для анализа цепей используют различные методы составления уравнений электрического равновесия, в частности методы токов ветвей, напряжений ветвей, контурных токов, узловых напряжений, переменных состояния.
Рис. 1.37 |
Рис. 1.35 |
Рис. 1.36 |
Рис. 1.38 |
Рис. 1.39 |
Рис. 1.40 |
При анализе цепей из рассмотрения исключаются случаи, когда использование топологических уравнений приводит к результатам, противоречащим компонентным уравнениям. Задача анализа цепи в этом случае считается поставленной некорректно. Ранее отмечались два случая возникновения подобных противоречий: применение источника напряжения в режиме короткого замыкания и источника тока в режиме холостого хода. Аналогичные противоречия возникают при параллельном включении источников напряжения с различными задающими напряжениями, при последовательном включении источников тока с различными задающими токами, при использовании контуров, составленных только из источников напряжений, и сечений, образованных только из источников тока, при подключении источника постоянного напряжения к индуктивности или источника постоянного тока к емкости. Все задачи, рассмотренные на рисунках, становятся корректными при учете внутренних сопротивлений источников энергии.
Как было показано ранее, топологические уравнения являются алгебраическими, а компонентные уравнения идеализированных пассивных элементов могут быть как алгебраическими, так и дифференциальными или интегральными. Вследствие этого уравнение электрического равновесия цепи, составленные любым методом, представляют собой в общем случае систему интегродифференциальных уравнений.
Пример. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи.
Рис. 1.41
Для этой цепи p=6, q=4, pит=1, pин=1.
Общее число неизвестных токов и напряжений ветвей 2p-pит-pин=10. Используя законы Кирхгофа, можно составить m=q-1=3 уравнений балланса токов:
-i1+i2=0; -i2+i3+i4=0; -i4+i5-i6=0 и n=p-q+1=3 уравнений баланса напряжений: U2+U3=e(t); -U3+U4-U6=0; U5+U6=0, где i5=I, U5=-UJ - ток и напряжение ветви с источником тока.
В сочетании с p-pит-pин=4 компонентными уравнениями невырожденных ветвей
;;;
получаем систему из 10 линейно независимых уравнений для определения 10 неизвестных токов и напряжений: i1, U2, i2, U3, i3, U4, i4, U5, U6, i5, i6.
Система уравнений электрического равновесия цепи, составленная любым методом, может быть путем дифференцирования и последовательного исключений неизвестных сведена к одному дифференциальному уравнению для любого из неизвестных токов и напряжений, называемому дифференциальным уравнением цепи. Дифференциальное уравнение цепи содержит информацию о характере имеющих место в цепи электрических процессов и является основой для классификации электрических цепей.