4. Сполуки, перестановки, розміщення. Поліноміальна теорема.
|A|=n, Bk(A)—сукупність к-елементних підм-н А
B0(A)=порож. м-на
B1(A)-усі одноел-тні м-ни
|B0(A)|=1, |B1(A)|=n,..., |Bn(A)|=1,
|Bk(A)|=Cnk, Cn0 =1, Cn1 =n, Cnn =1
Теорема. Число усіх к-ел-тних підмн-н м-ни А, яка складається з n ел-тів, обмежена
ф-лою:
Cnk=
.
Доведення:
що
й треба було довести.
Озн. к-елементну підм-ну мн-ни |А|=n наз. сполукою або комбінацією Cnk.
Озн. Перестановкою з n ел-тів м-ни А наз. кортеж довжини n (аі1, аі2, ...аіn).
Теорема.(формула для обчислення перестановок) Рn=n!
Озн. Кортеж довжини к, утворений з ел-тів м-ни |А|=n наз. розміщенням з n по к. К-сть розміщень з n по к позн. Аnк.
Теорема Аnк=k!Cnk=n!/(n-k)!
Теорема.(про комбінації з повтореннями). Число різних перестановок, які можна утворити з n ел-тів, серед яких є к1 ел-т першого типу, к2 ел-тів другого типу і т. д., кm перестановок m-го типу дорівнює Сn(k1,k2,... km).
Теорема. Сn(k1,k2,... km)=n!/k1!k2!...km!
Властивості:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
теорема(поліноміальна).
(а1+а2+...+аm)n=
Сn(k1,k2,...
km)a1k1a2k2...amkm
Доведення: (а1+а2+...+аm)... (а1+а2+...+аm)
n
м-ни a1k1a2k2...amkm, kі >=0, k1+k2+...+km=n
3 k1 дужки 1-го типу вибир. а1
3 k2 дужки 2-го типу вибир. а2 і т. д. Комбінацій буде Сn(k1,k2,... km)ї
5. Канонічні форми бульових функцій. Алгебра Жегалкіна.
В={0,1} – бульвий алфавіт.
Dв=<Фв,{, ,¬,0,1}> – алгебра бульових формул.
ДДНФ – досконала диз’юктивна нормальна форма.
Теорема про розклад бульвої функції.
Будь-яка бул. функція f(x1,x2,x3,...,xn) може бути подана у вигляді
f(x1,x2,x3,...,xn)=
f(1,
2, 3,...,
m,xm+1,...,xn),
де 1mn і діз’юкція береться по ввсіх можливих кортежах, пробігая від (0,0,...,0) до (1,1,...,1).
Доведення
m=1
m=n
f(x1,x2,x3,...,xn)=
f(1,
2,
3,...,
m,xm+1,...,xn)=
ДДНФ
Дизюнкція
-
; Кон’юнкція
-
;
Елементарною диз’юнкцією(кон’юнкцією) будемо називати диз’юнкцію(кон’юнкцію)скінченної множини попарно різних змінних або їх заперечень
Кількість змінних диз’юнкції будемо називати її довжиною
Диз’юктивною нормальною формою днф булевської функції f будемо називати її представлення у вигляд диз’юнкцій попарно різних елементарних кон’юнкцій
Кон’юктивною нормальною формою (кнф) булевської функції f будемо називати її представлення у вигляд кон’юнкцій попарно різних елементарних диз’юнкцій
Елементарна кон’юнкція (дизюнкція) називається повною відносно множини змінних
х1, х2, ...хn якщо в неї входять з запереченнями або без всі змінні х1, х2, ...хn
ДНФ булевської функції f від х1, х2, ...хn наз досконалою (ДДНФ) якщо всі її елементарні кон’юнкції повні відносно множини змінних х1, х2, ...хn, тобто при
f(1, 2, 3,..., n)=1
маємо
f(x1,x2,x3,...,xn)=
(x11
x22...
xnn)
Теорема кожна булевська функція має з точністю до порядку змінних, рівно одну ДДНФ
Теорема: Будь-яка буль формула за допомогою еквівалентних перетворень може бути зведена до ДДНФ.
Теорема:Для будь-якіх еквівалентних буль функцій F1 і F2 існує послідовність еквівалентних перетворень, що переводіть F1 в F2.
Алгебра Жегалкіна.
G=<B,{, , ,1}> – алгебра Жегалкіна, де В – всі бульові змінні.
- сума за модулем 2
Властивості:
1) (xy) z=x(yz) – ассоціативність ((xy) z=x (yz))
2) xy=уx – комутативність (xy=уx)
3) x (yz)=xyxz – дистрибутивність
4) xx=0, x0=x
5) x1=¬x
Тоді f(x1,x2,x3,...,xn)=S(,,0,1,...);
Поліномом Жегалкіна: будемо називати представлення ф-ції у вигляді попарно різних добутків змінних. Приклади: о, х, 1, 1+ xy, 1+х+ y+ xyz
Теорема: Будь-яка функція може бути однозначно представлена у вигляді полінома Жегалкіна.
Алгоритм побудови:
1) Будуємо ДДНФ f
2) Замінюємо на , так як у формулі лише одна одиниця.
3)
=x
1
4) Розкрити дужки, застосувати тотожності.
Або ж застосувати метод невизначених коефіцієнтів