4.Алгоритмічна розв’язність та нерозв’язність масових проблем. Нерозв’язність проблем зупинки та самозастосованості, наслідки.

Масову проблему назвемо алгоритмiчно розв’язною, або розв’язною, якщо вiдповiдний предикат рекурсивний, iнакше проблему назвемо алгоритмiчно нерозв’язною, або нерозв’язною. Масову проблему назвемо частково алгоритмiчно розв’язною, або частково розв’язною, або напіврозв’язною, якщо вiдповiдний предикат частково рекурсивний. Наприклад, проблеми "x є квадратом натурального числа" та " P(x₁, ..., x_n) за k крокiв" алгоритмiчно розв’язнi. Прикладами алгоритмiчно нерозв’язних проблем є проблема зупинки та проблема самозастосовностi.

Проблема зупинки формулюється так: за x та y встановити, чи є визначеним значення _x(y).

Проблема самозастосовностi формулюється так: за x встановити, чи є визначеним значення _x(x).

Неформально проблема зупинки означає: встановити за x та y, чи зупиниться МНР-програма з кодом x при роботi над y. Проблема самозастосовностi неформально означає: встановити за x, чи зупиниться МНР-програма з кодом x при роботi над власним кодом.

Тeорeма 4.3.1. Проблема самозастосовностi алгоритмiчно нерозв’язна.

Наслідок. Проблема зупинки алгоритмiчно нерозв’язна.

Тeорeма 4.3.2. Проблеми зупинки та самозастосовностi частково розв’язнi.

5.Логіка висловлень (пропозиційна логіка), закони логіки висловлень, тавтології. Числення висловлень. Теорема тавтології.

Алфавiт мови ЛВ складається iз символiв логiчних зв’язок  та  та пропозицiйних імен A, B, C,.... Дамо iндуктивне визначення пропозицiйної формули (скорочено ПФ). Для запису ПФ використає-мо префiксну форму, коли символ операцiї передує аргументам.

1) кожна пропозицiйне iм’я є ПФ; такі ПФ назвемо атомарними;

2) якщо  та  є ПФ, то  та  є ПФ.

Множини всіх ПФ та атомарних ПФ позначимо відповідно Fр та Fр₀.

Iстиннiсною оцiнкою мови ЛВ назвемо довiльне вiдображення : Fр₀{T, F}. Істиннісна оцінка задає значення атомарних ПФ.

ПФ називають тавтологiєю, якщо вона має iстинiсне значення T при кожнiй iстинiснiй оцiнцi мови ЛВ. Отже, ПФ тавтологiя, якщо вона iстинна на кожному наборi значень її пропозицiйних імен.

Кожна тавтологiя задає булеву функцiю, що є константа 1.

Суперечнiстю називають ПФ, хибну на кожному наборi значень її пропозицiйних iмен. Кожна суперечнiсть задає булеву функцiю, що є константа 0. На множинi ПФ введемо вiдношення логiчного (тавтологiчного) наслiдку ╞ та логiчної еквiвалентностi .

Формула  є логiчним (тавтологiчним) наслiдком формули , що позначатимемо ╞ , якщо формула  – тавтологiя.

Пропозиційні формули  та  логiчно еквiвалентнi, що позначатимемо , якщо ╞  та ╞ .

Пiд численням висловлень (скорочено ЧВ) розуміємо формальну систему (L, A, P), де L мова ЛВ, A  множина аксіом ЧВ, P множина правил виведення ЧВ.

Множина A задається єдиною схемою аксiом , тобто складається iз всiх ПФ (пропозиційних формул) вигляду , якi називатимемо пропозицiйними аксiомами.

Множина P складається з наступних правил виведення:

П1) |  правило розширення. 

П2) |  правило скорочення.

П3) () |()  правило асоціативності.

П4) , |  правило перетину.

Теоремою ЧВ називають ПФ, яка виводиться із пропозиційних аксiом за допомогою скiнченної кiлькостi застосувань правил виведення П1 - П4.

Тeорeма тавтології (ТТ) для ЧВ. Множина теорем ЧВ спiвпадає з мн-ою тавтологiй.

Із ТТ безпосередньо випливає:

1) розв'язність ЧВ. мн-на теорем ЧВ алгоритмiчно розв’язна вiдносно мн-ни всiх ПФ.

2) несуперечливість ЧВ: не iснує ПФ A такої, що A та A.