Содержание учебной дисциплины

Модуль «Матрицы и определители»

Семестр №1

Темы и содержание лекционных занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Группы, кольца, поля. Поле комплексных чисел.

Бинарная алгебраическая операция. Определения группы, подгруппы, кольца, поля. Следствия из аксиом поля. Примеры групп, колец и полей. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами.

4

4,13

Матрицы.

Понятие матрицы. Основные операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, перемножение матриц) и их свойства. Полиномы от матриц. Блочные матрицы.

2

5,14

Определители.

Определение и простейшие свойства определителей. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Разложение определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа. Решение квадратной системы линейных алгебраических уравнений с невырожденной основной матрицей по формулам Крамера. Обратные матрицы.

4

5,7,15,28

Модуль «Линейные пространства и СЛАУ»

Семестр №1

Темы и содержание лекционных занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Линейные пространства.

Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Свойства линейных пространств. Линейная зависимость. Эквивалентные системы векторов. Ранг системы векторов. Базы. Базис и размерность линейного пространства. Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Изоморфизм линейных пространств.

10

1,6,16,17,

18,19,20,

21,22,23,

24

Системы линейных алгебраических уравнений.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Нетривиальная совместность однородной системы. Теорема Кронекера - Капелли. Пространство решений однородной системы. Фундаментальная система решений. Структура общего решения неоднородной системы.

4

7,25,26,

27,28

Модуль «Евклидовы и унитарные пространства»

Семестр №1

Темы и содержание лекционных занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Евклидовы и унитарные пространства.

Определение евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши - Буняковского. Нормированное пространство. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис и его свойства. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнение. Изоморфизм евклидовых пространств. Определение унитарного пространства. Примеры унитарных пространств. Неравенство Коши - Буняковского. Понятие нормы. Ортонормированный базис и его свойства.

6

8,29,30,

31

Модуль «Квадратичные формы и линейные операторы»

Семестр №1

Темы лекционных занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Билинейные и квадратичные формы.

Линейная форма. Билинейные формы. Матрица билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методами Лагранжа и Якоби. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грамма. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Билинейные и квадратичные формы в комплексном n – мерном пространстве.

6

2,9,32,

33

Семестр №2

Линейные операторы в линейных пространствах.

Определение и примеры линейных операторов. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов. Ядро и образ линейного оператора. Связь между дефектом, рангом и размерностью области определения линейного оператора. Обратный оператор. Невырожденный оператор. Определение и примеры нахождения матриц линейных операторов. Связь между координатами вектора – образа и вектора – прообраза. Изоморфизм пространства линейных операторов пространству прямоугольных матриц соответствующего размера. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Эквивалентные и подобные матрицы. Критерий эквивалентности двух матриц. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Оператор простой структуры. Связь между линейными операторами и билинейными формами в унитарном пространстве. Операция перехода от оператора к сопряженному . Свойства операции *. Нахождение матрицы сопряженного оператора в ортонормированном (ортогональном) базисе. Основные свойства самосопряженных и унитарных операторов. Спектральная характеристика нормального оператора. Критерий простоты структуры линейного оператора. Достаточный признак оператора простой структуры. Линейные операторы в вещественном линейном пространстве. Основные свойства симметричных и ортогональных операторов.

23

10,34,35,

36,37,38,

39,40,41,

42

Модуль «Аналитическая геометрия»

Семестр №2

Темы лекционных занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Элементы n – мерной аналитической геометрии.

Определение n – мерного аффинного пространства. Различные способы задания прямой в аффинном пространстве (векторный, в параметрическом виде, канонический, по двум точкам). Угол между прямыми. Нахождение расстояния от данной точки до данной прямой. Перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. Взаимное расположение двух прямых. Нахождение кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух прямых. M – плоскости и гиперплоскости в аффинном пространстве. Различные виды уравнения плоскости (векторный, параметрический, по точке и нормали, по точке и направляющим векторам, по n точкам). Угол между плоскостями. Условие принадлежности n+1 точки одной плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Инварианты кривой второго порядка. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Классификация поверхностей второго порядка.

16

3,11,12,

43,44,45,

46,47,48,

49,50

Модуль «Жорданова нормальная форма, функции от матриц»

Семестр №2

Темы лекционных занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Жорданова нормальная форма линейного оператора.

Теорема о жордановой нормальной форме. Присоединенные векторы. Корневые и циклические подпространства. - матрицы. Элементарные преобразования - матриц. Приведение - матриц к нормальной диагональной форме. Инвариантные множители. Нахождение по жордановой нормальной форме инвариантных множителей и наоборот.

8

10,51,52,

53,54

Функции от матриц.

Определение и свойства функции от матрицы. Вычисление функции от матрицы через ее жорданову нормальную форму. Интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра. Основная формула.

4

55

Модуль «Матрицы и определители»

Семестр №1

Темы практических занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Группы, кольца, поля.

2

4

Комплексные числа и действия с ними.

4

13

Действия с матрицами.

2

5,14

Определение и простейшие свойства определителей.

4

5,15

Миноры, алгебраические дополнения и теорема Лапласа.

2

5,15

Крамеровские системы линейных уравнений. Обратные матрицы.

2

5,7,28

Модуль «Линейные пространства и СЛАУ»

Семестр №1

Определение линейного пространства.

2

6,16

Линейная зависимость векторов.

4

6,17

Эквивалентные системы векторов.

2

6,18,19

Базис и размерность линейного пространства.

5

6,20,21,22

Подпространства линейного пространства. Сумма и пересечение подпространств.

5

6,23,24

Ранг матрицы. Однородные системы. Фундаментальная система решений.

4

7,25,26

Неоднородные системы. Теорема Кронекера - Капелли.

3

7,27

Модуль «Евклидовы и унитарные пространства»

Семестр №1

Определение евклидова пространства.

4

8

Длины и углы. Ортогональность. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Ортонормированный базис.

4

8,30

Ортогональное дополнение, ортогональные суммы подпространств.

3

8,29,31

Унитарное пространство.

2

8

Модуль «Квадратичные формы и линейные операторы»

Семестр №2

Темы практических занятий

Часы

Ссылки

на цели

дисциплины

Билинейные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Лагранжа.

2

9,32

Приведение квадратичных форм к каноническому виду методом Якоби. Знакоопределенные квадратичные формы.

2

9,32,33

Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.

5

10,34,35

Связь между координатами вектора - образа и вектора - прообраза. Ядро и образ линейного оператора.

3

10,36

Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Действия с линейными операторами.

4

10,37

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

2

10,38

Линейные операторы простой структуры.

6

10,39

Линейные операторы в унитарных и евклидовых пространствах.

8

10,40,41,42

Модуль «Аналитическая геометрия»

Семестр №2

Прямые в аффинном пространстве.

4

11,43,44,45

Плоскости в аффинном пространстве.

4

11,46,47

Прямые и плоскости в аффинном пространстве.

2

11,43,44,45,

46,47

Кривые второго порядка.

5

12,48,49

Поверхности второго порядка.

5

12,50

Модуль «Жорданова нормальная форма, функции от матриц»

Семестр №2

Жорданова нормальная форма матриц.

6

10,51

Нормальная диагональная форма - матриц.

2

52

Инвариантные множители. Минимальный многочлен

3

10,53,54

Функции от матриц.

5

55