34. Признак Даламбера.

Теорема: пусть дан ряд =u₁+u₂+…+u_n+… с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел =ℓ. Тогда ряд сходится при ℓ<1 и расходится при ℓ>1.

Так как =ℓ, то по определению предела для любого ε>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется нера- венство |u_n+1/u_n-ℓ|<ε или ℓ-ε<u_n+1/u_n<ℓ+ε.

Пусть ℓ<1. Можно подобрать ε так, что число ℓ+ε<1. Обозначи м ℓ+ε=q, q<1. Тогда из правой части неравенства |u_n+1/u_n-ℓ|<ε или ℓ-ε<u_n+1/u_n<ℓ+ε получим u_n+1/u_n< q, или u_n+1/<qu_n,n>N. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что u_n+1/< qu_n для всех n = 1,2,3,... Давая номеру n эти значения, получим серию неравенств, т.е. члены ряда u₂+u₃+u₄+…+u_n+… меньше соответствующих членов ряда qu₁+q²u₁+q³u₁+…+qⁿ⁺¹u₁+…, который сходится как ряд геометрической прогресии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд u₂+u₃+u₄+…+u_n+…, следовательно сходится и исходный ряд =u₁+u₂+…+u_n+…

Пусть ℓ>1. В этом случае =ℓ>1. Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство u_n+1/u_n>1, или u_n+1>u_n, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому ≠0. На основании следствия из необходимого признака ряд =u₁+u₂+…+u_n+… расходится.

Замечания: 1. Если ℓ=1, то ряд =u₁+u₂+…+u_n+… может быть как сходящимся, так и расходящимся. 2. Признак Даламбера целесообразен применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или aⁿ.

35. Интегральный признак Коши.

Пусть для функции f(x) выполняется:

1. (функция принимает только положительные значения)

2. (функция монотонно убывает)

3. 

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся

36. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.

Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n;

2. 

Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

37. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы: Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия:

1. (монотонное невозрастание {an}

2. Тогда этот ряд сходится.