§7.6. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе

Пример 7.10. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе:

.

§7.7. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида , где m и n – натуральные числа.

1. Среди показателей степеней n и m есть хотя бы одна нечетное число. В этом случае используем прием подведения множителя под знак дифференциала.

Пример 7.11.

2. Оба показателя степени n и m – четные числа. В этом случае применяем тригонометрические формулы понижения степени:

.

Пример 7.12.

.

2. Интегралы вида

В данном случае, применяя известные тригонометрические тождества

,

,

можно интеграл от произведения двух тригонометрических функций свести к интегрированию суммы двух других тригонометрических функций.

Пример 7.13.

.

3. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегралы вида , где рациональная функция от sinx и cosx, можно свести к интегралам от частного двух многочленов. Это можно сделать при помощи так называемой универсальной тригонометрической подстановки: . При этом

, ,

.

Пример 7.14.

Мы воспользовались табличной формулой 11.

Глава 8. Определенный интеграл.

Несобственные интегралы

§8.1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла

Предположим, нам требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x), где f(x) – некоторая непрерывная неотрицательная на отрезке [a; b] функция (рис. 8.1).

Разобьем отрезок [a; b] точками на n частей. Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку . При этом криволинейная трапеция вертикальными прямыми разбивается на n полос, каждую из которых условно можно считать прямоугольником. Длина основания i-го прямоугольника равна x_i = x_i – – x_{i – 1}, а за высоту приближенно можно принять значение функции y = f(x) в точке _i . Таким образом, площадь i-й полосы приближенно равна . Площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей составляющих ее полос:

. (8.1)

Равенство (8.1) тем точнее выражает площадь криволинейной трапеции, чем каждая из составляющих ее полос больше напоминает прямоугольник, то есть, чем меньше каждое x_i.

Дадим теперь определение определенного интеграла. Пусть f(x) – произвольная функция, определенная на промежутке [a; b] (см. рис. 8.1). Разобьем отрезок [a; b] точками на n частей и выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку . В полученных точках вычислим значения функции и вычислим сумму (данная сумма называется интегральной).

 Предел интегральной суммы при , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части, и от выбора точек , называется определенным интегралом от функции f(x) на промежутке [a; b] и обозначается . Таким образом,

. (8.2)

Замечание. Условие означает, что длина каждого из отрезков стремится к нулю, а это возможно лишь тогда, когда число разбиений стремится к бесконечности (n ). Обратное утверждение не верно. При n  могут остаться отрезки , длины которых не стремятся к нулю. Таким образом, в определении определенного интеграла условие нельзя заменить условием n .

 Для любой непрерывной на промежутке [a; b] функции f(x) существует определенный интеграл .

Из формул (8.1) и (8.2) следует, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x), где f(x) – некоторая непрерывная неотрицательная функция равна:

. (8.3)