k1-02
.pdfЗАДАНИЕ К1-12
Дано: уравнения движения точки в плоскости ху: x 3 6 sin 6t , y 4 6 cos 2 6t ; t1 1 с.
Найти: уравнение траектории точки; скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение и
радиус кривизны траектории в момент t t1. |
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РЕШЕНИЕ: |
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1. |
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Уравнение |
траектории. |
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Для |
определения |
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у |
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уравнения траектории точки исключим время |
t |
из |
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заданных уравнений движения. |
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Воспользуемся |
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тригонометрических |
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функций |
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sin2 cos2 1 . Тогда |
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t |
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3 х |
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t 2 |
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4 y |
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sin |
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cos |
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и |
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–2 |
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(3 x) |
2 |
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4 y |
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и |
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y |
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(3 x)2 |
2 . |
Это |
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-2 |
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уравнение параболы. |
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2. Скорость точки. Скорость найдем по ее проекциям на координатные оси: v v2 |
v2 |
, где |
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x |
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y |
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v |
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dx |
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cos t , |
v |
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dy |
cos t sin t |
sin |
t . При t t =1 с |
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x |
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y |
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dt |
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dt |
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sin |
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v x cos |
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3 |
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2,72 (см/с), v y |
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3 |
0,45 (см/с), |
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v2,722 0,452 2,76 (см/с).
3.Ускорение точки. Находим аналогично: a ax2 a2y ,
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dv x |
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t |
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dv y |
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t |
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a |
x |
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sin |
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, a |
y |
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cos |
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и при |
t t =1 |
с a |
x |
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sin |
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0,82 (см/с ), |
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dt |
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dt |
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2 |
cos 2 |
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a |
y |
0,27 |
(см/с2), |
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a |
0,822 |
0,272 |
0,87 (см/с2). |
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4. Касательное ускорение. Найдем, дифференцируя равенство v2 v2 |
v2 . Получим |
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y |
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2v |
dv |
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2v |
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dv |
x |
2v |
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dvy |
, |
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откуда |
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vxax vyay |
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и |
при |
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t t =1 |
с |
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dt |
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dt |
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v |
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a 2,72 0,82 0,45 0,27 |
0,76 (см/с2). |
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5. Нормальное ускорение. |
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n |
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a |
2 a |
2 |
0,872 |
0,762 |
0,42 (см/с2). |
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6. Радиус кривизны траектории. |
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v 2 |
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2,762 |
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18,1(см). |
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an |
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0,42 |
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v |
a |
a |
an |
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см/с |
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см/с2 |
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см |
2,76 |
0,87 |
–0,76 |
0,42 |
18,1 |